Упр.9.47 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение $$\left((x-3)^4\right)^{\frac14}+\left((5-x)^6\right)^{\frac16}=2$$.

$$\sqrt[4]{(x-3)^4}+\sqrt[6]{(5-x)^6}=2.$$

Так как $$\sqrt[4]{a^4}=|a|$$ и $$\sqrt[6]{b^6}=|b|,$$ получаем

$$|x-3|+|5-x|=2.$$

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$x>5,$$ то

   $$|x-3|=x-3,\quad |5-x|=x-5.$$

   Тогда

   $$x-3+x-5=2,$$

   $$2x-8=2,$$

   $$2x=10,$$

   $$x=5.$$

   Но это не подходит условию $$x>5.$$

2. Если $$3\le x\le 5,$$ то

   $$|x-3|=x-3,\quad |5-x|=5-x.$$

   Тогда

   $$x-3+5-x=2,$$

   $$2=2.$$

   Это верно при любом $$x$$ из промежутка $$[3;5].$$

3. Если $$x<3,$$ то

   $$|x-3|=3-x,\quad |5-x|=5-x.$$

   Тогда

   $$3-x+5-x=2,$$

   $$8-2x=2,$$

   $$2x=6,$$

   $$x=3.$$

   Но это не подходит условию $$x<3.$$

Следовательно, решение уравнения:

Ответ: $$x\in[3;5].$$