Упр.9.46 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (1/(x^(1/6)+1)-(x^(1/6)-1)/x^(1/3)):x^(2/3)/(x^(1/3)+2x^(1/6)+1)=(x^(1/6)+1)/x;
2) ((a+b)/(a^(2/3)-b^(2/3))+((ab^2)^(1/3)-(a^2 b)^(1/3))/(a^(2/3)-2(ab)^(1/3)+b^(2/3)))/(a^(1/6)-b^(1/6))=a^(1/6)+b^(1/6);

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение:

$$ \left(\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1}-\frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}\right):\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1} $$

Приведём к общему знаменателю в первой скобке:

$$ \frac{1}{\sqrt[6]{x}+1}-\frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt[3]{x}-(\sqrt[6]{x}-1)(\sqrt[6]{x}+1)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)} $$

Так как
$$ (\sqrt[6]{x}-1)(\sqrt[6]{x}+1)=\sqrt[3]{x}-1, $$
то

$$ \frac{\sqrt[3]{x}-(\sqrt[3]{x}-1)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}. $$

Тогда

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}:\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}\cdot \frac{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[3]{x}}. $$

Заметим, что
$$ \sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1=(\sqrt[6]{x}+1)^2. $$
Тогда

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}\cdot \frac{(\sqrt[6]{x}+1)^2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{\sqrt[6]{x}+1}{x}. $$

Следовательно, тождество верно.

2) Рассмотрим левую часть:

$$ \frac{\dfrac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}+\dfrac{\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}. $$

Используем разложения:

$$ a+b=\sqrt[3]{a^3}+\sqrt[3]{b^3}, \qquad \sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2, $$

$$ \sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}=\sqrt[3]{ab}\,(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a}). $$

Тогда после преобразований получаем:

$$ \frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} + \frac{\sqrt[3]{ab}\,(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a})}{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2} = (\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}). $$

$$ \frac{(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b})}{(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})} +\frac{-\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} = \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}. $$

После сокращения получаем:

$$ \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})^2. $$

Следовательно,

$$ \sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b} = \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}. $$

Тождество доказано.