Упр.9.45 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (1/(a^(1/4)-1)-(a^(1/4)+1)/va):va/(va-2a^(1/4)+1);
2) ((x^(1/6)+1)/(x^(1/6)-1)-(4x^(1/6))/(x^(1/3)-1))·(x^(1/3)+x^(1/6))/(x^(1/6)-1);
3) ((a^(3/4)-b^(3/4))/(va-vb)-a^(1/4)-b^(1/4))((a/b)^(1/4)+1);
4) (va+27)/(a^(1/6)-b^(1/6))·((a^(1/6)-3)/(a^(1/3)-3a^(1/6)+9)-((ab)^(1/6)-9)/(va+27)).

1. Обозначим $$t=\sqrt[4]{a}.$$ Тогда $$\sqrt{a}=t^2.$$ Имеем
   $$\left(\frac{1}{t-1}-\frac{t+1}{t^2}\right):\frac{t^2}{t^2-2t+1}.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{1}{t-1}-\frac{t+1}{t^2}=\frac{t^2-(t+1)(t-1)}{t^2(t-1)}=\frac{1}{t^2}.$$
   Тогда
   $$\frac{1}{t^2}:\frac{t^2}{(t-1)^2}=\frac{1}{t^2}\cdot\frac{(t-1)^2}{t^2}=\frac{t-1}{t^4}.$$
   Возвращаясь к $a$, получаем
   $$\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}.$$

2. Пусть $$t=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2,$$ и выражение равно
   $$\left(\frac{t+1}{t-1}-\frac{4t}{t^2-1}\right)\cdot\frac{t^2+t}{t-1}.$$
   Так как $$t^2-1=(t-1)(t+1),$$ то
   $$\frac{t+1}{t-1}-\frac{4t}{(t-1)(t+1)}=\frac{(t+1)^2-4t}{(t-1)(t+1)}=\frac{(t-1)^2}{(t-1)(t+1)}=\frac{t-1}{t+1}.$$
   Тогда
   $$\frac{t-1}{t+1}\cdot\frac{t^2+t}{t-1}=\frac{t(t+1)}{t+1}=t.$$
   Значит,
   $$\sqrt[6]{x}.$$

3. Обозначим $$u=\sqrt[4]{a},\quad v=\sqrt[4]{b}.$$ Тогда
   $$\sqrt{a}=u^2,\quad \sqrt{b}=v^2,\quad \sqrt[4]{a^3}=u^3,\quad \sqrt[4]{b^3}=v^3.$$
   Имеем
   $$\left(\frac{u^3-v^3}{u^2-v^2}-u-v\right)\left(\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1\right).$$
   Так как
   $$u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2),\quad u^2-v^2=(u-v)(u+v),$$
   то
   $$\frac{u^3-v^3}{u^2-v^2}=\frac{u^2+uv+v^2}{u+v}.$$
   Тогда
   $$\frac{u^2+uv+v^2}{u+v}-u-v=\frac{u^2+uv+v^2-(u+v)^2}{u+v}=-\frac{uv}{u+v}.$$
   Кроме того,
   $$\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1=\frac{u}{v}+1=\frac{u+v}{v}.$$
   Следовательно,
   $$-\frac{uv}{u+v}\cdot\frac{u+v}{v}=-u.$$
   Значит,
   $$-\sqrt[4]{a}.$$

4. Пусть $$u=\sqrt[6]{a},\quad v=\sqrt[6]{b}.$$ Тогда
   $$\sqrt{a}=u^3,\quad \sqrt[6]{ab}=uv,\quad \sqrt[3]{a}=u^2.$$
   Получаем
   $$\frac{u^3+27}{u-v}\left(\frac{u-3}{u^2-3u+9}-\frac{uv-9}{u^3+27}\right).$$
   Разложим на множители:
   $$u^3+27=(u+3)(u^2-3u+9).$$
   Тогда
   $$\frac{u-3}{u^2-3u+9}=\frac{(u-3)(u+3)}{(u+3)(u^2-3u+9)}=\frac{u^2-9}{u^3+27},$$
   и
   $$\frac{u^2-9}{u^3+27}-\frac{uv-9}{u^3+27}=\frac{u^2-uv}{u^3+27}=\frac{u(u-v)}{u^3+27}.$$
   Тогда всё выражение равно
   $$\frac{u^3+27}{u-v}\cdot\frac{u(u-v)}{u^3+27}=u.$$
   Значит,
   $$\sqrt[6]{a}.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$$; 2) $$\sqrt[6]{x}$$; 3) $$-\sqrt[4]{a}$$; 4) $$\sqrt[6]{a}$$.