Упр.9.45 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Упростите выражение:
- 1) $$\left(\frac{1}{a^{1/4}-1}-\frac{a^{1/4}+1}{\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2a^{1/4}+1}$$;
2) $$\left(\frac{x^{1/6}+1}{x^{1/6}-1}-\frac{4x^{1/6}}{x^{1/3}-1}\right)\cdot\frac{x^{1/3}+x^{1/6}}{x^{1/6}-1}$$;
3) $$\left(\frac{a^{3/4}-b^{3/4}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-a^{1/4}-b^{1/4}\right)\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{1/4}+1\right)$$;
4) $$\frac{\sqrt{a}+27}{a^{1/6}-b^{1/6}}\cdot\left(\frac{a^{1/6}-3}{a^{1/3}-3a^{1/6}+9}-\frac{(ab)^{1/6}-9}{\sqrt{a}+27}\right)$$.
1)
$$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1}-\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$$
$$=\left(\frac{\sqrt{a}-(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}\right)\cdot\frac{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}$$
$$=\left(\frac{\sqrt{a}-(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}\right)\cdot\frac{(\sqrt[4]{a}-1)^2}{\sqrt{a}} =\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt[4]{a}-1}{\sqrt{a}} =\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$$
Ответ: $$\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$$
2)
$$\left(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1}-\frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$$
$$=\left(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1}-\frac{4\sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x}+1)(\sqrt[6]{x}-1)}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$$
$$=\frac{(\sqrt[6]{x}+1)^2-4\sqrt[6]{x}}{(\sqrt[6]{x}+1)(\sqrt[6]{x}-1)}\cdot\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$$
$$=\frac{\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}+1}{(\sqrt[6]{x}+1)(\sqrt[6]{x}-1)}\cdot\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$$
$$=\frac{(\sqrt[6]{x}-1)^2}{(\sqrt[6]{x}+1)(\sqrt[6]{x}-1)}\cdot\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1} =\frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[6]{x}+1}\cdot\frac{\sqrt[6]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}{\sqrt[6]{x}-1} =\sqrt[6]{x}$$
Ответ: $$\sqrt[6]{x}$$
3)
$$\left(\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)\left(\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1\right)$$
$$=\left(\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}+\sqrt{b})}{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}-\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)\left(\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b}}\right)$$
$$=\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}+\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}-\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)\left(\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b}}\right)$$
$$=\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}+\sqrt{b}-(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^2}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}\cdot\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{b}}$$
$$=\frac{\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}+\sqrt{b}-(\sqrt{a}+2\sqrt[4]{ab}+\sqrt{b})}{\sqrt[4]{b}} =-\frac{\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{b}} =-\sqrt[4]{a}$$
Ответ: $$-\sqrt[4]{a}$$
4)
$$\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \left( \frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9} — \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27} \right)$$
$$=\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \left( \frac{(\sqrt[6]{a}-3)(\sqrt[6]{a}+3)}{(\sqrt[6]{a}+3)(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9)} — \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27} \right)$$
$$=\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \left( \frac{\sqrt[3]{a}-9}{\sqrt{a}+27} — \frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27} \right)$$
$$=\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} \cdot \frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt{a}+27} = \frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}$$
$$=\frac{\sqrt[6]{a}\,(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} =\sqrt[6]{a}$$
Ответ: $$\sqrt[6]{a}$$
