Упр.9.44 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите значение выражения: 1) $$\left(7-4\sqrt{3}\right)^{\frac{1}{6}}\cdot\left(2+\sqrt{3}\right)^{\frac{1}{3}}$$; 2) $$\sqrt{2\sqrt{6}-1}\cdot\left(25+4\sqrt{6}\right)^{\frac{1}{4}}$$.

1) $$\sqrt[6]{7-4\sqrt3}\cdot \sqrt[3]{2+\sqrt3}$$

Заметим, что

$$7-4\sqrt3=4-4\sqrt3+3=(2-\sqrt3)^2.$$

Тогда

$$\sqrt[6]{7-4\sqrt3}=\sqrt[6]{(2-\sqrt3)^2}=\sqrt[3]{2-\sqrt3}.$$

Следовательно,

$$\sqrt[6]{7-4\sqrt3}\cdot \sqrt[3]{2+\sqrt3}=\sqrt[3]{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}=\sqrt[3]{4-3}=\sqrt[3]{1}=1.$$

2) $$\sqrt{2\sqrt6-1}\cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt6}$$

Представим первый множитель в виде корня четвертой степени:

$$\sqrt{2\sqrt6-1}=\sqrt[4]{(2\sqrt6-1)^2}.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{(2\sqrt6-1)^2}\cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt6}=\sqrt[4]{(2\sqrt6-1)^2(25+4\sqrt6)}.$$

Вычислим:

$$(2\sqrt6-1)^2=24-4\sqrt6+1=25-4\sqrt6.$$

Значит,

$$\sqrt[4]{(25-4\sqrt6)(25+4\sqrt6)}=\sqrt[4]{625-96}=\sqrt[4]{529}.$$

Так как $$529=23^2,$$ то

$$\sqrt[4]{529}=\sqrt{23}.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\sqrt{23}$$.