Упр.9.43 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (v10-3)^(1/3)·(19+6v10)^(1/6);
2) v(4+2v2)·(6-4v2)^(1/4).

1. $$\sqrt[3]{\sqrt{10}-3}\cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}$$
   
   Заметим, что
   $$19+6\sqrt{10}=10+6\sqrt{10}+9=(\sqrt{10}+3)^2.$$
   Тогда
   $$\sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}=\sqrt[6]{(\sqrt{10}+3)^2}=\sqrt[3]{\sqrt{10}+3}.$$
   Получаем
   $$\sqrt[3]{\sqrt{10}-3}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{10}+3}=\sqrt[3]{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\sqrt[3]{10-9}=\sqrt[3]{1}=1.$$

2. $$\sqrt{4+2\sqrt{2}}\cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}$$
   
   Представим первый множитель в виде четвёртого корня:
   $$\sqrt{4+2\sqrt{2}}=\sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2}.$$
   Тогда
   $$\sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2}\cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}=\sqrt[4]{(4+2\sqrt{2})^2(6-4\sqrt{2})}.$$
   Найдём произведение:
   $$(4+2\sqrt{2})^2=16+16\sqrt{2}+8=24+16\sqrt{2},$$
   поэтому
   $$(24+16\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})=4(6+4\sqrt{2})(6-4\sqrt{2})=4(36-32)=16.$$
   Значит,
   $$\sqrt[4]{16}=2.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$2$$.