Упр.9.41 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) a(2^(1/4)), если a?0; 4) b(6^(1/6));
2) ab(6/(a^3 b^2))^(1/6), если b < 0; 5) a(-a)^(1/6);
3) mn(1/(m^3 n^3))^(1/4); 6) ab(ab^2)^(1/4), если b?0.
$$a\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{a^4}\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{2a^4}, \quad a\ge 0.$$
$$ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}=-|a||b|\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}.$$
Так как $$\frac{6}{a^3b^2}\ge 0,$$ то $$a\ge 0.$$ Тогда
$$-ab\sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}=-\sqrt[6]{\frac{6a^6b^6}{a^3b^2}}=-\sqrt[6]{6a^3b^4}.$$
$$mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}=|m||n|\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}.$$
Так как $$\frac{1}{m^3n^3}\ge 0,$$ то $$mn\ge 0.$$ Тогда
$$mn\sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}=\sqrt[4]{\frac{m^4n^4}{m^3n^3}}=\sqrt[4]{mn}.$$
$$b\sqrt[6]{6}= \frac{|b|}{b}\sqrt[6]{6b^6}.$$
Следовательно,
$$b\sqrt[6]{6}= \begin{cases} \sqrt[6]{6b^6}, & b\ge 0,\\ -\sqrt[6]{6b^6}, & b<0. \end{cases}$$
$$a\sqrt[6]{-a}=-|a|\sqrt[6]{-a}=-\sqrt[6]{a^6(-a)}=-\sqrt[6]{-a^7}.$$
Из условия существования корня $$-a\ge 0,$$ значит $$a\le 0.$$
$$ab\sqrt[4]{ab^2}=|a||b|\sqrt[4]{ab^2}.$$
Так как $$ab^2\ge 0,$$ то $$a\ge 0.$$ При $$b\le 0$$ имеем $$|b|=-b,$$ поэтому
$$ab\sqrt[4]{ab^2}=-\sqrt[4]{a^4b^4\cdot ab^2}=-\sqrt[4]{a^5b^6}.$$
Ответ
1) $$\sqrt[4]{2a^4}$$; 2) $$-\sqrt[6]{6a^3b^4}$$; 3) $$\sqrt[4]{mn}$$; 4) $$\begin{cases}\sqrt[6]{6b^6}, & b\ge 0,\\ -\sqrt[6]{6b^6}, & b<0;\end{cases}$$ 5) $$-\sqrt[6]{-a^7}$$; 6) $$-\sqrt[4]{a^5b^6}$$.
