Упр.9.40 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вынесите множитель из-под знака корня:

1. $$\sqrt[4]{32a^6}$$, если $$a \geq 0$$;
2. $$\sqrt[4]{-625a^5}$$;
3. $$\sqrt[6]{a^7b^7}$$, если $$a < 0$$, $$b < 0$$;
4. $$\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}$$, если $$a > 0$$.

1) $$\sqrt[4]{32a^6}=\sqrt[4]{16\cdot 2\cdot a^4\cdot a^2}=\sqrt[4]{2^4\cdot a^4\cdot 2a^2}=2|a|\sqrt[4]{2a^2}.$$

Так как $$a\le 0,$$ то $$|a|=-a.$$ Тогда

$$\sqrt[4]{32a^6}=-2a\sqrt[4]{2a^2}.$$

2) $$\sqrt[4]{-625a^5}=\sqrt[4]{-a\cdot 625\cdot a^4}=\sqrt[4]{-a\cdot 5^4\cdot a^4}=5|a|\sqrt[4]{-a}.$$

Из условия существования корня $$-625a^5\ge 0,$$ значит $$a\le 0,$$ поэтому $$|a|=-a.$$ Тогда

$$\sqrt[4]{-625a^5}=-5a\sqrt[4]{-a}.$$

3) $$\sqrt[6]{a^7b^7}=\sqrt[6]{a^6\cdot a\cdot b^6\cdot b}=|a|\cdot |b|\cdot \sqrt[6]{ab}.$$

Так как $$a<0,\ b<0,$$ то $$|a|=-a,\ |b|=-b,$$ а значит $$|a|\cdot |b|=ab.$$ Следовательно,

$$\sqrt[6]{a^7b^7}=ab\sqrt[6]{ab}.$$

4) $$\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}=\sqrt[6]{a^{18}\cdot a^2\cdot b^{18}\cdot b}=|a^3|\cdot |b^3|\cdot \sqrt[6]{a^2b}.$$

Так как $$a>0,$$ то $$|a^3|=a^3.$$ Кроме того, из существования корня следует $$a^{20}b^{19}\ge 0,$$ значит $$b\ge 0,$$ и потому $$|b^3|=b^3.$$ Тогда

$$\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}=a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}.$$

Ответ

1) $$-2a\sqrt[4]{2a^2}$$; 2) $$-5a\sqrt[4]{-a}$$; 3) $$ab\sqrt[6]{ab}$$; 4) $$a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}$$.