Упр.9.39 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вынесите множитель из-под знака корня:

1. $$(-m^9)^{\frac{1}{4}}$$;
2. $$\left(a^8b^{13}\right)^{\frac{1}{4}}$$, если $$a>0$$;
3. $$\left(x^6y^7\right)^{\frac{1}{6}}$$, если $$x?0$$;
4. $$\left(32m^{18}n^{17}\right)^{\frac{1}{4}}$$;
5. $$\left(162a^4b^8c^{12}\right)^{\frac{1}{4}}$$, если $$a>0$$, $$c<0$$;
6. $$\left(a^{15}b^{15}\right)^{\frac{1}{4}}$$;
7. $$\left(-a^{25}b^{50}\right)^{\frac{1}{8}}$$.

1) $$\sqrt[4]{-m^9}=\sqrt[4]{-m\cdot m^8}=\sqrt[4]{-m\cdot m^4\cdot m^4}=|m^2|\sqrt[4]{-m}=m^2\sqrt[4]{-m}.$$

Так как $$-m^9\ge 0,$$ то $$-m\ge 0,$$ значит, $$m\le 0.$$

2) $$\sqrt[4]{a^8b^{13}}=\sqrt[4]{a^8\cdot b^{12}\cdot b}=\sqrt[4]{a^4\cdot a^4\cdot b^{12}\cdot b}=|a^2|\cdot |b^3|\sqrt[4]{b}=a^2b^3\sqrt[4]{b}.$$

Так как $$a>0,$$ а подкоренное выражение неотрицательно, то $$b\ge 0.$$

3) $$\sqrt[6]{x^6y^7}=\sqrt[6]{x^6\cdot y^6\cdot y}=|x|\cdot |y|\sqrt[6]{y}=|x|\,y\sqrt[6]{y}.$$

Так как $$x\ne 0,$$ а подкоренное выражение неотрицательно, то $$y\ge 0.$$

4) $$\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}=\sqrt[4]{16\cdot 2\cdot m^{16}\cdot m^2\cdot n^{16}\cdot n}=\sqrt[4]{2^4\cdot m^{16}\cdot n^{16}\cdot 2m^2n}$$

$$=2\cdot |m^4|\cdot |n^4|\sqrt[4]{2m^2n}=2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}.$$

Так как $$32m^{18}n^{17}\ge 0,$$ то $$n\ge 0.$$

5) $$\sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}}=\sqrt[4]{81\cdot 2\cdot a^4\cdot b^8\cdot c^{12}}=\sqrt[4]{3^4\cdot 2\cdot a^4\cdot b^4\cdot b^4\cdot c^{12}}$$

$$=3\cdot |a|\cdot |b^2|\cdot |c^3|\sqrt[4]{2}=3ab^2\cdot (-c^3)\sqrt[4]{2}=-3ab^2c^3\sqrt[4]{2}.$$

6) $$\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}=\sqrt[4]{a^{12}\cdot a^3\cdot b^{12}\cdot b^3}=\sqrt[4]{a^4\cdot a^4\cdot a^4\cdot a^3\cdot b^4\cdot b^4\cdot b^4\cdot b^3}$$

$$=|a^3|\cdot |b^3|\sqrt[4]{a^3b^3}=a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}.$$

Так как $$a^{15}b^{15}\ge 0,$$ то $$ab\ge 0.$$

7) $$\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}=\sqrt[8]{-a\cdot a^{24}\cdot b^{48}\cdot b^2}=\sqrt[8]{-a\cdot a^8\cdot a^8\cdot a^8\cdot b^8\cdot b^8\cdot b^8\cdot b^8\cdot b^2}$$

$$=|a^3|\cdot |b^6|\sqrt[8]{-ab^2}=-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}.$$

Так как $$-a^{25}b^{50}\ge 0,$$ то $$a\le 0.$$

Ответ: 1) $$m^2\sqrt[4]{-m}$$; 2) $$a^2b^3\sqrt[4]{b}$$; 3) $$|x|\,y\sqrt[6]{y}$$; 4) $$2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}$$; 5) $$-3ab^2c^3\sqrt[4]{2}$$; 6) $$a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}$$; 7) $$-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}$$.