Упр.9.37 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\left(x^8\right)^{\frac{1}{8}}=x+8$$;
   2) $$\left(x^{12}\right)^{\frac{1}{12}}=6x-10$$.

1) $$\sqrt[8]{x^8}=x+8$$

Так как $$\sqrt[8]{x^8}=|x|,$$ получаем

$$|x|=x+8.$$

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и тогда

$$x=x+8,$$

$$0x=8,$$

что невозможно.

2. Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и тогда

$$-x=x+8,$$

$$-2x=8,$$

$$x=-4.$$

Проверка: $$\sqrt[8]{(-4)^8}=4,$$ а $$-4+8=4.$$

Значит, $$x=-4.$$

2) $$\sqrt[12]{x^{12}}=6x-10$$

Так как $$\sqrt[12]{x^{12}}=|x|,$$ получаем

$$|x|=6x-10.$$

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и тогда

$$x=6x-10,$$

$$-5x=-10,$$

$$x=2.$$

2. Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и тогда

$$-x=6x-10,$$

$$-7x=-10,$$

$$x=\frac{10}{7}.$$

Но это число не удовлетворяет условию $$x<0,$$ поэтому не подходит.

Проверка для $$x=2$$: $$\sqrt[12]{2^{12}}=2,$$ $$6\cdot 2-10=2.$$

Следовательно, $$x=2.$$

Ответ

1) $$x=-4$$; 2) $$x=2$$.