Упр.9.36 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\left(x^6\right)^{\frac{1}{6}}=x-4$$;
2. $$\left(x^{10}\right)^{\frac{1}{10}}=6-x$$;
3. $$2\left(x^4\right)^{\frac{1}{4}}=x+3$$.

1) $$\sqrt[6]{x^6}=x-4$$

Так как $$\sqrt[6]{x^6}=|x|,$$ получаем

$$|x|=x-4.$$

Рассмотрим случаи:

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$x=x-4,$$

откуда $$0=-4,$$ — противоречие.

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$-x=x-4,$$

$$-2x=-4,$$

$$x=2,$$

но это не удовлетворяет условию $$x<0.$$

Следовательно, корней нет.

2) $$\sqrt[10]{x^{10}}=6-x$$

Так как $$\sqrt[10]{x^{10}}=|x|,$$ получаем

$$|x|=6-x.$$

Рассмотрим случаи:

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$x=6-x,$$

$$2x=6,$$

$$x=3.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$-x=6-x,$$

$$0=6,$$

что невозможно.

Итак, $$x=3.$$

3) $$2\sqrt[4]{x^4}=x+3$$

Так как $$\sqrt[4]{x^4}=|x|,$$ получаем

$$2|x|=x+3.$$

Рассмотрим случаи:

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

$$2x=x+3,$$

$$x=3.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ значит

$$-2x=x+3,$$

$$-3x=3,$$

$$x=-1.$$

Оба значения подходят.

Ответ

1) корней нет; 2) $$3$$; 3) $$-1,\ 3$$.