Упр.9.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение: 1) $$\left((\sqrt{5}-2)^4\right)^{\frac{1}{8}}$$; 3) $$\left((\sqrt{11}-3)^3\right)^{\frac{1}{12}}$$; 2) $$\left((\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\right)^{\frac{1}{10}}$$; 4) $$\left((\sqrt{7}-3)^3\right)^{\frac{1}{15}}$$.

1) $$\sqrt[8]{(\sqrt5-2)^4}=\sqrt[4]{(\sqrt5-2)^2}=\sqrt{|\sqrt5-2|}.$$

Так как $$\sqrt5>2,$$ то $$|\sqrt5-2|=\sqrt5-2.$$ Следовательно,

$$\sqrt[8]{(\sqrt5-2)^4}=\sqrt{\sqrt5-2}.$$

2) $$\sqrt[10]{(\sqrt3-\sqrt5)^2}=\sqrt[5]{|\sqrt3-\sqrt5|}.$$

Так как $$\sqrt5>\sqrt3,$$ то $$|\sqrt3-\sqrt5|=\sqrt5-\sqrt3.$$ Значит,

$$\sqrt[10]{(\sqrt3-\sqrt5)^2}=\sqrt[5]{\sqrt5-\sqrt3}.$$

3) $$\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}=\sqrt[4]{\sqrt{11}-3}.$$

Так как $$\sqrt{11}>3,$$ выражение под корнем неотрицательно, поэтому

$$\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}=\sqrt[4]{\sqrt{11}-3}.$$

4) $$\sqrt[15]{(\sqrt7-3)^3}=\sqrt[5]{\sqrt7-3}.$$

Так как $$\sqrt7>3,$$ получаем

$$\sqrt[15]{(\sqrt7-3)^3}=\sqrt[5]{\sqrt7-3}.$$

Ответ

1) $$\sqrt{\sqrt5-2};$$ 2) $$\sqrt[5]{\sqrt5-\sqrt3};$$ 3) $$\sqrt[4]{\sqrt{11}-3};$$ 4) $$\sqrt[5]{\sqrt7-3}.$$