Упр.9.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1. 1) $$\left((\sqrt{6}-2)^3\right)^{\frac{1}{6}}$$;
   3) $$\left((\sqrt{2}-\sqrt{3})^3\right)^{\frac{1}{9}}$$;
   2) $$\left((1-\sqrt{2})^2\right)^{\frac{1}{4}}$$;
   4) $$\left((\sqrt{3}-2)^2\right)^{\frac{1}{6}}$$.

1) $$\left(\left(\sqrt{6}-2\right)^3\right)^{\frac16}=\sqrt[6]{\left(\sqrt{6}-2\right)^3}=\sqrt{\sqrt{6}-2}.$$

Так как $$\sqrt{6}>2,$$ то $$\sqrt{6}-2>0.$$

Ответ: $$\sqrt{\sqrt{6}-2}.$$

2) $$\left(\left(1-\sqrt{2}\right)^2\right)^{\frac14}=\sqrt[4]{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{\left|1-\sqrt{2}\right|}.$$

Так как $$\sqrt{2}>1,$$ то $$\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1.$$

Следовательно,

$$\sqrt{\left|1-\sqrt{2}\right|}=\sqrt{\sqrt{2}-1}.$$

Ответ: $$\sqrt{\sqrt{2}-1}.$$

3) $$\left(\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^3\right)^{\frac19}=\sqrt[9]{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^3}=\sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}.$$

Ответ: $$\sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}.$$

4) $$\left(\left(\sqrt{3}-2\right)^2\right)^{\frac16}=\sqrt[6]{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}=\sqrt[3]{\left|\sqrt{3}-2\right|}.$$

Так как $$2>\sqrt{3},$$ то $$\left|\sqrt{3}-2\right|=2-\sqrt{3}.$$

Значит,

$$\sqrt[3]{\left|\sqrt{3}-2\right|}=\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.$$

Ответ: $$\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.$$