Упр.9.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) ((x+4)^4)^(1/4)=x+4;
2) ((1-3x)^8)^(1/4)=(1-3x)^2;
3) ((x^2-2x-3)^6)^(1/6)=3+2x-x^2.

1. $$\sqrt[4]{(x+4)^4}=x+4$$

   Для чётного корня имеем:

   $$\sqrt[4]{(x+4)^4}=|x+4|$$

   Тогда

   $$|x+4|=x+4$$

   Это верно при

   $$x+4\ge 0,$$

   то есть

   $$x\ge -4.$$

2. $$\sqrt[4]{(1-3x)^8}=(1-3x)^2$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sqrt[4]{(1-3x)^8}=\sqrt[4]{\bigl((1-3x)^2\bigr)^4}=|(1-3x)^2|$$

   Так как $$ (1-3x)^2\ge 0, $$ то

   $$|(1-3x)^2|=(1-3x)^2.$$

   Следовательно, равенство верно при любом $$x$$.

3. $$\sqrt[6]{(x^2-2x-3)^6}=3+2x-x^2$$

   Так как

   $$\sqrt[6]{(x^2-2x-3)^6}=|x^2-2x-3|,$$

   получаем

   $$|x^2-2x-3|=3+2x-x^2.$$

   Правая часть равна

   $$3+2x-x^2=-(x^2-2x-3).$$

   Значит, нужно решить неравенство

   $$x^2-2x-3\le 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-2x-3=(x-3)(x+1).$$

   Тогда

   $$ (x-3)(x+1)\le 0, $$

   откуда

   $$-1\le x\le 3.$$

Ответ

1) $$x\in[-4;+\infty)$$; 2) $$x\in(-\infty;+\infty)$$; 3) $$x\in[-1;3]$$.