Упр.9.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$((x+4)^4)^{1/4}=x+4$$; 2) $$((1-3x)^8)^{1/4}=(1-3x)^2$$; 3) $$((x^2-2x-3)^6)^{1/6}=3+2x-x^2$$.

1) $$\sqrt[4]{(x+4)^4}=x+4.$$

Так как $$\sqrt[4]{a^4}=|a|,$$ получаем

$$|x+4|=x+4.$$

Это верно при

$$x+4\ge 0,$$

то есть

$$x\ge -4.$$

Ответ: $$x\in[-4;+\infty).$$

2) $$\sqrt[4]{(1-3x)^8}=(1-3x)^2.$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt[4]{(1-3x)^8}=\sqrt[4]{\bigl((1-3x)^2\bigr)^4}=|(1-3x)^2|.$$

Но $$(1-3x)^2\ge 0,$$ значит

$$|(1-3x)^2|=(1-3x)^2.$$

Следовательно, равенство выполняется при любом $$x.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

3) $$\sqrt[6]{(x^2-2x-3)^6}=-3+2x-x^2.$$

Так как $$\sqrt[6]{a^6}=|a|,$$ имеем

$$|x^2-2x-3|=-x^2+2x-3.$$

Правая часть должна быть неотрицательной:

$$-x^2+2x-3\ge 0,$$

или

$$x^2-2x+3\le 0.$$

Но

$$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$$

при любом $$x,$$ значит неравенство решений не имеет.

Следовательно, исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.