Упр.9.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Сократите дробь:
1) $$\frac{a^{1/6}+1}{a^{1/3}-1}$$;
2) $$\frac{\sqrt{m}-(mn)^{1/4}}{(mn)^{1/4}-\sqrt{n}}$$;
3) $$\frac{a-b}{a^{1/3}-b^{1/3}}$$;
4) $$\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$$;
5) $$\frac{(ab)^{1/3}+a^{1/3}}{(a^2b^2)^{1/3}+(a^2b)^{1/3}}$$;
6) $$\frac{3+3^{1/4}}{3^{1/4}}$$.
1) $$\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\sqrt[3]{a}-1}=\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\left(\sqrt[6]{a}\right)^2-1}=\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\left(\sqrt[6]{a}-1\right)\left(\sqrt[6]{a}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt[6]{a}-1}.$$
2) $$\frac{\sqrt{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt[4]{m^2}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt[4]{n^2}}=\frac{\sqrt[4]{m}\left(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}\right)}{\sqrt[4]{n}\left(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}\right)}=\frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}}=\sqrt[4]{\frac{m}{n}}.$$
3) $$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{\left(\sqrt[3]{a}\right)^3-\left(\sqrt[3]{b}\right)^3}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\frac{\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$$
$$=\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}.$$
4) $$\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a^2b}-\sqrt{ab^2}}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}\,(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}.$$
5) $$\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{\sqrt[3]{a}\,(\sqrt[3]{b}+1)}{\sqrt[3]{a^2b}\,(\sqrt[3]{b}+1)}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b}}=\sqrt[3]{\frac{1}{ab}}=\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}.$$
6) $$\frac{3+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}=\frac{\sqrt[4]{3^4}+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}=\frac{\sqrt[4]{3}\,(\sqrt[4]{3^3}+1)}{\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{27}+1.$$
Ответ: 1) $$\frac{1}{\sqrt[6]{a}-1}$$; 2) $$\sqrt[4]{\frac{m}{n}}$$; 3) $$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$$; 4) $$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$; 5) $$\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$$; 6) $$\sqrt[4]{27}+1$$.
