Упр.9.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Сократите дробь:
1) $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^{1/4}+b^{1/4}}$$;
2) $$\frac{x^{1/6}-9}{x^{1/12}+3}$$;
3) $$\frac{\sqrt{m}+m^{1/4}}{m-(m^3)^{1/4}}$$;
4) $$\frac{(ab^2)^{1/8}-(a^2b)^{1/8}}{a^{1/4}-b^{1/4}}$$;
5) $$\frac{a(b^2)^{1/3}-b(a^2)^{1/3}}{(a^2b^2)^{1/3}}$$;
6) $$\frac{(x^2)^{1/3}+4x^{1/3}+16}{x-64}$$;
7) $$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a^{1/3}-(ab)^{1/6}+b^{1/3}}$$;
8) $$\frac{2-\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$$;
9) $$\frac{(a^3)^{1/4}-a^{1/4}+\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}$$.
1) $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt[4]a+\sqrt[4]b}=\frac{\left(\sqrt[4]a\right)^2-\left(\sqrt[4]b\right)^2}{\sqrt[4]a+\sqrt[4]b}=\frac{\left(\sqrt[4]a-\sqrt[4]b\right)\left(\sqrt[4]a+\sqrt[4]b\right)}{\sqrt[4]a+\sqrt[4]b}=\sqrt[4]a-\sqrt[4]b.$$
2) $$\frac{\sqrt[6]x-9}{\sqrt[12]x+3}=\frac{\left(\sqrt[12]x\right)^2-3^2}{\sqrt[12]x+3}=\frac{\left(\sqrt[12]x-3\right)\left(\sqrt[12]x+3\right)}{\sqrt[12]x+3}=\sqrt[12]x-3.$$
3) $$\frac{\sqrt m+\sqrt[4]m}{m-\left(m^3\right)^{1/4}}=\frac{\left(\sqrt[4]m\right)^2+\sqrt[4]m}{\left(\sqrt[4]m\right)^4-\left(\sqrt[4]m\right)^3}=\frac{\sqrt[4]m\left(\sqrt[4]m+1\right)}{\left(\sqrt[4]m\right)^3\left(\sqrt[4]m-1\right)}=\frac{\sqrt[4]m+1}{\sqrt[4]{m^3}-\sqrt[4]m}.$$
4) $$\frac{\sqrt[8]{ab^2}-\sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]a-\sqrt[4]b}=\frac{\sqrt[8]{ab}\left(\sqrt[8]b-\sqrt[8]a\right)}{\left(\sqrt[8]a\right)^2-\left(\sqrt[8]b\right)^2}=\frac{\sqrt[8]{ab}\left(\sqrt[8]b-\sqrt[8]a\right)}{\left(\sqrt[8]a-\sqrt[8]b\right)\left(\sqrt[8]a+\sqrt[8]b\right)}=-\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]a+\sqrt[8]b}.$$
5) $$\frac{a\sqrt[3]{b^2}-b\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}}=\frac{\sqrt[3]{a^3b^2}-\sqrt[3]{b^3a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}}=\frac{\sqrt[3]{a^2b^2}\left(\sqrt[3]a-\sqrt[3]b\right)}{\sqrt[3]{a^2b^2}}=\sqrt[3]a-\sqrt[3]b.$$
6) $$\frac{\sqrt[3]{x^2}+4\sqrt[3]x+16}{x-64}=\frac{\left(\sqrt[3]x\right)^2+4\sqrt[3]x+4^2}{\left(\sqrt[3]x\right)^3-4^3}=\frac{\left(\sqrt[3]x+4\right)\left(\sqrt[3]x-4\right)}{\left(\sqrt[3]x-4\right)\left(\left(\sqrt[3]x\right)^2+4\sqrt[3]x+16\right)}=\frac{1}{\sqrt[3]x-4}.$$
7) $$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt[3]a-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]b}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\left(\sqrt[6]a\right)^2-\sqrt[6]a\sqrt[6]b+\left(\sqrt[6]b\right)^2}=\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\left(\sqrt[6]a-\sqrt[6]b\right)\left(\sqrt[3]a+\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]b\right)}.$$
Используем тождество $$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$ при $$x=\sqrt[6]a$$ и $$y=\sqrt[6]b$$:
$$\sqrt[3]a-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]b=\left(\sqrt[6]a\right)^2-\sqrt[6]a\sqrt[6]b+\left(\sqrt[6]b\right)^2,$$
поэтому
$$\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt[3]a-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]b}=\sqrt[6]a+\sqrt[6]b.$$
8) $$\frac{2-2^{1/3}}{2^{1/3}}=\frac{2^{1/3}\left(2^{2/3}-1\right)}{2^{1/3}}=2^{2/3}-1=\sqrt[3]{4}-1.$$
9) $$\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]a+\sqrt a-1}{a-\sqrt a}=\frac{\sqrt[4]a\left(\sqrt a-1\right)+\left(\sqrt a-1\right)}{\sqrt a\left(\sqrt a-1\right)}=\frac{\left(\sqrt[4]a+1\right)\left(\sqrt a-1\right)}{\sqrt a\left(\sqrt a-1\right)}=\frac{\sqrt[4]a+1}{\sqrt a}.$$
Ответ:
1) $$\sqrt[4]a-\sqrt[4]b$$; 2) $$\sqrt[12]x-3$$; 3) $$\frac{\sqrt[4]m+1}{\sqrt[4]{m^3}-\sqrt[4]m}$$; 4) $$-\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]a+\sqrt[8]b}$$; 5) $$\sqrt[3]a-\sqrt[3]b$$; 6) $$\frac{1}{\sqrt[3]x-4}$$; 7) $$\sqrt[6]a+\sqrt[6]b$$; 8) $$\sqrt[3]{4}-1$$; 9) $$\frac{\sqrt[4]a+1}{\sqrt a}$$.
