Упр.9.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите значение выражения:

1. $$\frac{5\left(2^{\frac{1}{3}}\right)-54^{\frac{1}{3}}+250^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}$$;
2. $$\frac{\left(24^{\frac{1}{4}}-6^{\frac{1}{4}}\right)^2}{4\sqrt{3}-3\sqrt{6}}$$.

1) $$\frac{5\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}}$$

Представим подкоренные выражения в виде произведений с кубом:

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}, \qquad \sqrt[3]{250}=\sqrt[3]{125\cdot 2}=5\sqrt[3]{2}.$$

Тогда

$$\frac{5\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}+5\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{7\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=7.$$

2) $$\frac{\left(\sqrt[4]{24}-\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt{3}-3\sqrt{6}}$$

Раскроем квадрат разности:

$$\left(\sqrt[4]{24}-\sqrt[4]{6}\right)^2=\sqrt{24}-2\sqrt[4]{24\cdot 6}+\sqrt{6}.$$

Так как $$\sqrt[4]{24}=\sqrt[4]{4\cdot 6}=\sqrt{2}\,\sqrt[4]{6},$$ то удобнее сразу упростить числитель:

$$\left(\sqrt[4]{24}-\sqrt[4]{6}\right)^2=\sqrt{24}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}=2\sqrt{6}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}=\sqrt{6}.$$

Тогда

$$\frac{\left(\sqrt[4]{24}-\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt{3}-3\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{3}-3\sqrt{6}}.$$

Вынесем $$\sqrt{3}$$ в знаменателе:

$$4\sqrt{3}-3\sqrt{6}=\sqrt{3}(4-3\sqrt{2}), \qquad \sqrt{6}=\sqrt{3}\sqrt{2}.$$

Получаем

$$\frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{\sqrt{3}(4-3\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}=-1.$$

Ответ

1) $$7$$; 2) $$-1$$.