Упр.9.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x^2-4)^(1/4)=(x-2)^(1/4)·(x+2)^(1/4);
2) ((x-3)(7-x))^(1/8)=(x-3)^(1/8)·(7-x)^(1/8);
3) ((x-6)(x-10))^(1/3)=(x-6)^(1/3)·(x-10)^(1/3)?

1. $$\sqrt[4]{x^2-4}=\sqrt[4]{x-2}\cdot\sqrt[4]{x+2}$$

   Так как $$x^2-4=(x-2)(x+2),$$ то равенство сводится к
   $$\sqrt[4]{(x-2)(x+2)}=\sqrt[4]{x-2}\cdot\sqrt[4]{x+2}.$$

   Для существования выражений нужно:
   $$x-2\ge 0,\quad x+2\ge 0.$$
   Отсюда
   $$x\ge 2.$$

2. $$\sqrt[8]{(x-3)(7-x)}=\sqrt[8]{x-3}\cdot\sqrt[8]{7-x}$$

   Так как $$ (x-3)(7-x) $$ уже записано в виде произведения, равенство верно при тех значениях $$x,$$ при которых оба множителя неотрицательны:
   $$x-3\ge 0,\quad 7-x\ge 0.$$

   Получаем:
   $$x\ge 3,\quad x\le 7,$$
   значит,
   $$x\in[3;7].$$

3. $$\sqrt[3]{(x-6)(x-10)}=\sqrt[3]{x-6}\cdot\sqrt[3]{x-10}$$

   Для кубического корня ограничений на значения подкоренного выражения нет, поэтому равенство выполняется при любых $$x.$$

Ответ

1) $$x\in[2;+\infty);$$
2) $$x\in[3;7];$$
3) $$x\in(-\infty;+\infty).$$