Упр.9.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ выполняется равенство:

1. $$\left(x^2-4\right)^{\frac14}=\left(x-2\right)^{\frac14}\cdot\left(x+2\right)^{\frac14};$$

   $$\left((x-3)(7-x)\right)^{\frac18}=(x-3)^{\frac18}\cdot(7-x)^{\frac18};$$

   $$\left((x-6)(x-10)\right)^{\frac13}=(x-6)^{\frac13}\cdot(x-10)^{\frac13}?$$

1) Чтобы равенство было верным, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$$x-2\ge 0,\qquad x+2\ge 0.$$

Отсюда получаем $$x\ge 2.$$

При таких значениях $$x$$

$$\sqrt[4]{x^2-4}=\sqrt[4]{(x-2)(x+2)}=\sqrt[4]{x-2}\cdot\sqrt[4]{x+2}.$$

Значит, $$x\in[2;+\infty).$$

2) Для существования выражения нужно, чтобы

$$x-3\ge 0,\qquad 7-x\ge 0.$$

Тогда

$$x\ge 3,\qquad x\le 7,$$

то есть $$x\in[3;7].$$

При этих значениях

$$\sqrt[8]{(x-3)(7-x)}=\sqrt[8]{x-3}\cdot\sqrt[8]{7-x}.$$

Следовательно, $$x\in[3;7].$$

3) Для кубического корня ограничений на $$x$$ нет, так как корень нечётной степени определён при любых действительных значениях подкоренного выражения.

Поэтому равенство

$$\sqrt[3]{(x-6)(x-10)}=\sqrt[3]{x-6}\cdot\sqrt[3]{x-10}$$

выполняется при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Ответ

1) $$x\in[2;+\infty)$$; 2) $$x\in[3;7]$$; 3) $$x\in\mathbb{R}.$$