Упр.9.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$a$$ выполняется равенство:

1) $$\left(a^{30}\right)^{\frac{1}{6}}=a^5$$; 3) $$\left(a^4\right)^{\frac{1}{4}}=\left(a^{\frac{1}{4}}\right)^4$$; 2) $$\left(a^{30}\right)^{\frac{1}{6}}=-a^5$$; 4) $$\left(a^4\right)^{\frac{1}{4}}=\left((-a)^{\frac{1}{4}}\right)^4$$.

Подробный ответ

1) $$\left(a^{30}\right)^{\frac16}=a^5.$$

Так как $$\left(a^{30}\right)^{\frac16}=\sqrt[6]{a^{30}}=\sqrt[6]{\left(a^5\right)^6}=|a^5|,$$ то равенство выполняется при $$|a^5|=a^5,$$ то есть при $$a\ge 0.$$

2) $$\left(a^{30}\right)^{\frac16}=-a^5.$$

Аналогично получаем $$\left(a^{30}\right)^{\frac16}=|a^5|.$$ Тогда нужно, чтобы $$|a^5|=-a^5,$$ а это возможно при $$a\le 0.$$

3) $$\left(a^4\right)^{\frac14}=\left(a^{\frac14}\right)^4.$$

Чтобы выражение имело смысл, необходимо $$a\ge 0.$$ При этом

$$\left(a^4\right)^{\frac14}=\sqrt[4]{a^4}=a,\qquad \left(a^{\frac14}\right)^4=a.$$

Следовательно, равенство выполняется при $$a\ge 0.$$

4) $$\left(a^4\right)^{\frac14}=\left((-a)^{\frac14}\right)^4.$$

Чтобы выражение имело смысл, нужно $$-a\ge 0,$$ то есть $$a\le 0.$$ Тогда

$$\left(a^4\right)^{\frac14}=\sqrt[4]{a^4}=|a|=-a,\qquad \left((-a)^{\frac14}\right)^4=-a.$$

Значит, равенство выполняется при $$a\le 0.$$

Ответ: 1) $$a\in[0;+\infty);$$ 2) $$a\in(-\infty;0];$$ 3) $$a\in[0;+\infty);$$ 4) $$a\in(-\infty;0].$$

Оцени решение