Упр.9.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (a^4)^(1/4)=a; 2) (a^4)^(1/4)=-a;
3) (a^3)^(1/3)=a; 4) (a^3)^(1/3)=-a;
5) ((a-5)^3)^(1/4)=((a-5)^(1/4))^3;
6) ((a-5)^4)^(1/3)=((a-5)^(1/3))^4?

1. $$\sqrt[4]{a^4}=a$$

   Так как $$\sqrt[4]{a^4}=|a|$$, получаем

   $$|a|=a.$$

   Это верно при $$a \ge 0$$.

2. $$\sqrt[4]{a^4}=-a$$

   Имеем $$|a|=-a$$, значит

   $$-a \ge 0,$$

   то есть $$a \le 0$$.

3. $$\sqrt[3]{a^3}=a$$

   Для кубического корня равенство верно при любых действительных $$a$$:

   $$\sqrt[3]{a^3}=a.$$

4. $$\sqrt[3]{a^3}=-a$$

   Тогда

   $$a=-a,$$

   откуда

   $$a=0.$$

5. $$\sqrt[4]{(a-5)^3}=\left(\sqrt[4]{a-5}\right)^3$$

   Чтобы выражение имело смысл, нужно

   $$a-5 \ge 0,$$

   то есть

   $$a \ge 5.$$

   При этом

   $$\sqrt[4]{(a-5)^3}=(a-5)^{3/4}, \qquad \left(\sqrt[4]{a-5}\right)^3=(a-5)^{3/4},$$

   поэтому равенство выполняется при всех $$a \ge 5$$.

6. $$\sqrt[3]{(a-5)^4}=\left(\sqrt[3]{a-5}\right)^4$$

   Кубический корень определён при любых действительных значениях $$a$$. Обе части равны

   $$|a-5|^{4/3},$$

   значит равенство выполняется при всех $$a \in \mathbb{R}$$.

Ответ

1) $$a \in [0; +\infty)$$;
2) $$a \in (-\infty; 0]$$;
3) $$a \in \mathbb{R}$$;
4) $$a=0$$;
5) $$a \in [5; +\infty)$$;
6) $$a \in \mathbb{R}$$.