Упр.9.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   
   1) $$\left(1+a^{\frac{1}{3}}+\left(a^2\right)^{\frac{1}{3}}\right)\left(1-a^{\frac{1}{3}}\right)$$;
   
   2) $$\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+a^{\frac{1}{4}}\right)\left(1-a^{\frac{1}{4}}\right)$$.

1) $$\left(1+a^{\frac13}+\left(a^2\right)^{\frac13}\right)\left(1-a^{\frac13}\right)$$

Так как $$\left(a^2\right)^{\frac13}=a^{\frac23},$$ получаем

$$\left(1+a^{\frac13}+a^{\frac23}\right)\left(1-a^{\frac13}\right).$$

Обозначим $$x=a^{\frac13}.$$ Тогда выражение примет вид

$$\left(1+x+x^2\right)(1-x)=1-x^3.$$

Следовательно,

$$1-\left(a^{\frac13}\right)^3=1-a.$$

Ответ: $$1-a.$$

2) $$\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt[4]{a}\right)\left(1-\sqrt[4]{a}\right)$$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\left(\sqrt[4]{a}\right)^2\right).$$

Так как $$\left(\sqrt[4]{a}\right)^2=\sqrt{a},$$ то

$$\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)=1-a.$$

При этом $$a \ge 0.$$

Ответ: $$1-a,\quad a\ge 0.$$