Упр.9.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Упростите выражение:

1. 1) $$54^{\frac{1}{3}}-3\left(16^{\frac{1}{3}}\right)+5\left(128^{\frac{1}{3}}\right)+2000^{\frac{1}{3}}$$; 2) $$(625a)^{\frac{1}{4}}+3(16a)^{\frac{1}{4}}-2(81a)^{\frac{1}{4}}+4(1296a)^{\frac{1}{4}}$$.

1) $$\sqrt[3]{54}-3\sqrt[3]{16}+5\sqrt[3]{128}+\sqrt[3]{2000}$$

Представим подкоренные числа в виде произведения куба и числа $$2$$:

$$\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2},\quad \sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{8\cdot 2}=2\sqrt[3]{2},$$
$$\sqrt[3]{128}=\sqrt[3]{64\cdot 2}=4\sqrt[3]{2},\quad \sqrt[3]{2000}=\sqrt[3]{1000\cdot 2}=10\sqrt[3]{2}.$$

Тогда

$$3\sqrt[3]{2}-3\cdot 2\sqrt[3]{2}+5\cdot 4\sqrt[3]{2}+10\sqrt[3]{2} =3\sqrt[3]{2}-6\sqrt[3]{2}+20\sqrt[3]{2}+10\sqrt[3]{2} =27\sqrt[3]{2}.$$

2) $$\sqrt[4]{625a}+3\sqrt[4]{16a}-2\sqrt[4]{81a}+4\sqrt[4]{1296a}$$

Представим числа под корнем как четвёртые степени:

$$\sqrt[4]{625a}=\sqrt[4]{5^4a}=5\sqrt[4]{a},\quad \sqrt[4]{16a}=\sqrt[4]{2^4a}=2\sqrt[4]{a},$$
$$\sqrt[4]{81a}=\sqrt[4]{3^4a}=3\sqrt[4]{a},\quad \sqrt[4]{1296a}=\sqrt[4]{6^4a}=6\sqrt[4]{a}.$$

Тогда

$$5\sqrt[4]{a}+3\cdot 2\sqrt[4]{a}-2\cdot 3\sqrt[4]{a}+4\cdot 6\sqrt[4]{a} =5\sqrt[4]{a}+6\sqrt[4]{a}-6\sqrt[4]{a}+24\sqrt[4]{a} =29\sqrt[4]{a}.$$

Ответ: 1) $$27\sqrt[3]{2}$$; 2) $$29\sqrt[4]{a}$$.