Упр.8.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: 1) $$(x+2)^{1/10}>1$$; 2) $$(3x+2)^{1/5}<2$$; 3) $$(5x+1)^{1/4}<3$$.

1) Для неравенства $$\sqrt[10]{x+2}>1$$ учитываем, что при чётном показателе корня выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$x+2\ge 0,$$

а так как функция $$y=\sqrt[10]{x}$$ возрастает, то

$$x+2>1^{10}=1.$$

Отсюда

$$x>-1.$$

С учётом области определения получаем:

$$x\in(-1;+\infty).$$

2) Для неравенства $$\sqrt[5]{3x+2}<2$$ пятый корень определён при любых значениях подкоренного выражения, а функция $$y=\sqrt[5]{x}$$ возрастает, значит

$$3x+2<2^5=32.$$

Тогда

$$3x<30,$$

$$x<10.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;10).$$

3) Для неравенства $$\sqrt[4]{5x+1}<3$$ сначала найдём область определения:

$$5x+1\ge 0,$$

$$x\ge -\frac15.$$

Так как функция $$y=\sqrt[4]{x}$$ возрастает, то

$$5x+1<3^4=81.$$

Отсюда

$$5x<80,$$

$$x<16.$$

Совмещая с областью определения, получаем:

$$x\in\left[-\frac15;16\right).$$

Ответ

1) $$x\in(-1;+\infty)$$; 2) $$x\in(-\infty;10)$$; 3) $$x\in\left[-\frac15;16\right).$$