Упр.8.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x-1)^(1/6) > 2; 2) (3x+1)^(1/3) < 4; 3) (4x+1)^(1/8)?1.

1. $$\sqrt[6]{x-1}>2$$

   Так как функция $$y=\sqrt[6]{x-1}$$ возрастает, возведём обе части в шестую степень:

   $$x-1>2^6$$

   $$x-1>64$$

   $$x>65$$

   Проверим область определения:

   $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1$$

   Условие $$x>65$$ ему удовлетворяет.

2. $$\sqrt[3]{3x+1}<4$$

   Так как функция $$y=\sqrt[3]{3x+1}$$ возрастает, возведём обе части в куб:

   $$3x+1<4^3$$

   $$3x+1<64$$

   $$3x<63$$

   $$x<21$$

3. $$\sqrt[8]{4x+1}\le 1$$

   Так как функция $$y=\sqrt[8]{4x+1}$$ возрастает, возведём обе части в восьмую степень:

   $$4x+1\le 1^8$$

   $$4x+1\le 1$$

   $$4x\le 0$$

   $$x\le 0$$

   Проверим область определения:

   $$4x+1\ge 0$$

   $$x\ge -\frac14$$

   Совмещаем условия:

   $$-\frac14\le x\le 0$$

Ответ

1) $$x\in(65;+\infty)$$; 2) $$x\in(-\infty;21)$$; 3) $$x\in\left[-\frac14;0\right]$$.