Упр.8.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$(x-1)^{\frac{1}{6}}>2$$;
   2) $$(3x+1)^{\frac{1}{3}}<4$$;
   3) $$(4x+1)^{\frac{1}{8}}?1$$.

1) Рассмотрим неравенство $$\sqrt[6]{x-1}>2.$$

Так как функция $$y=\sqrt[6]{x-1}$$ возрастает при $$x-1\ge 0,$$ возведём обе части в шестую степень:

$$x-1>2^6,$$

$$x-1>64,$$

$$x>65.$$

Проверим область определения:

$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Условие $$x>65$$ ему удовлетворяет.

Ответ: $$x\in(65;+\infty).$$

2) Рассмотрим неравенство $$\sqrt[3]{3x+1}<4.$$

Так как функция $$y=\sqrt[3]{3x+1}$$ возрастает на всей числовой прямой, возведём обе части в куб:

$$3x+1<4^3,$$

$$3x+1<64,$$

$$3x<63,$$

$$x<21.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;21).$$

3) Рассмотрим неравенство $$\sqrt[8]{4x+1}\le 1.$$

Так как функция $$y=\sqrt[8]{4x+1}$$ возрастает при $$4x+1\ge 0,$$ возведём обе части в восьмую степень:

$$4x+1\le 1^8,$$

$$4x+1\le 1,$$

$$4x\le 0,$$

$$x\le 0.$$

Проверим область определения:

$$4x+1\ge 0,$$

$$x\ge -\frac14.$$

Совмещая условия, получаем:

$$x\in\left[-\frac14;0\right].$$

Ответ: $$x\in\left[-0{,}25;0\right].$$