Упр.8.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$(x^2-4)(x+1)^{\frac{1}{4}}=0$$; 2) $$(x-1)(x^2-2x-3)^{\frac{1}{10}}=0$$.
1) $$\left(x^2-4\right)\sqrt[4]{x+1}=0$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$$x^2-4=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{x+1}=0.$$
1) $$x^2-4=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$
Проверим область определения корня:
$$x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1.$$
Из найденных корней подходит только $$x=2$$, так как $$x=-2$$ не удовлетворяет условию $$x\ge -1$$.
2) $$\sqrt[4]{x+1}=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$
Оба корня подходят.
Ответ: $$-1,\ 2.$$
2) $$\left(x-1\right)\sqrt[10]{x^2-2x-3}=0$$
Произведение равно нулю, если:
$$x-1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[10]{x^2-2x-3}=0.$$
1) $$x-1=0 \Rightarrow x=1.$$
Проверим область определения корня:
$$x^2-2x-3\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1).$$
Тогда
$$(x-3)(x+1)\ge 0 \Rightarrow x\le -1 \ \text{или}\ x\ge 3.$$
Число $$x=1$$ не подходит.
2) $$\sqrt[10]{x^2-2x-3}=0 \Rightarrow x^2-2x-3=0.$$
$$(x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1 \ \text{или}\ x=3.$$
Оба корня подходят.
Ответ: $$-1,\ 3.$$
