Упр.8.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x^2-4)(x+1)^(1/4)=0; 2) (x-1)(x^2-2x-3)^(1/10)=0.

1) $$\left(x^2-4\right)\sqrt[4]{x+1}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$x^2-4=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[4]{x+1}=0.$$

Из первого уравнения:

$$x^2=4,$$

$$x=\pm 2.$$

Проверим область допустимых значений для корня:

$$x+1\ge 0,$$

$$x\ge -1.$$

Значение $$x=-2$$ не подходит, а $$x=2$$ подходит.

Из второго уравнения:

$$\sqrt[4]{x+1}=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$

Итак, для первого уравнения:

$$x=-1,\;2.$$

2) $$\left(x-1\right)\sqrt[10]{x^2-2x-3}=0.$$

Произведение равно нулю, если:

$$x-1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[10]{x^2-2x-3}=0.$$

Из первого уравнения:

$$x=1.$$

Для корня десятой степени нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$x^2-2x-3\ge 0.$$

Решим неравенство:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\ge 0.$$

Отсюда:

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

Теперь из второго множителя:

$$\sqrt[10]{x^2-2x-3}=0 \Rightarrow x^2-2x-3=0,$$

$$ (x-3)(x+1)=0,$$

$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=3.$$

Оба значения подходят.

Итак, для второго уравнения:

$$x=-1,\;3.$$

Ответ

1) $$-1,\;2$$; 2) $$-1,\;3$$.