Упр.8.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции: 1) $$y=(2-x)^{\frac{1}{4}}$$; 2) $$y=\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^{\frac{1}{9}}$$; 3) $$y=(x^2-4x+3)^{\frac{1}{6}}$$.

1) Для функции $$y=\sqrt[4]{2-x}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$2-x\ge 0,$$

$$x\le 2.$$

Следовательно,

$$D(y)=(-\infty;2].$$

2) Для функции $$y=\sqrt[9]{\dfrac{x+1}{x-3}}$$ корень нечётной степени определён при любых значениях подкоренного выражения, но знаменатель дроби не должен обращаться в нуль:

$$x-3\ne 0,$$

$$x\ne 3.$$

Значит,

$$D(y)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$

3) Для функции $$y=\sqrt[6]{x^2-4x+3}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2-4x+3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

Тогда

$$(x-1)(x-3)\ge 0,$$

откуда

$$x\le 1 \text{ или } x\ge 3.$$

$$D(y)=(-\infty;1]\cup[3;+\infty).$$