Упр.8.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: 1) $$(x+6)^{1/8}$$; 3) $$(y(y-1))^{1/4}$$; 5) $$(-x^2)^{1/6}$$; 2) $$(a-10)^{1/9}$$; 4) $$(-x)^{1/6}$$; 6) $$(x^2+2x-8)^{1/10}$$?

Для корня с чётным показателем подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а для корня с нечётным показателем ограничений нет.

1. $$\sqrt[8]{x+6}$$

   Требуется:

   $$x+6\ge 0$$

   $$x\ge -6$$

   Ответ: $$x\in[-6;+\infty)$$

2. $$\sqrt[9]{a-10}$$

   Так как показатель корня нечётный, выражение имеет смысл при любых значениях переменной:

   Ответ: $$a\in(-\infty;+\infty)$$

3. $$\sqrt[4]{y(y-1)}$$

   Требуется:

   $$y(y-1)\ge 0$$

   Отсюда:

   $$y\le 0 \text{ или } y\ge 1$$

   Ответ: $$y\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$

4. $$\sqrt[6]{-x}$$

   Требуется:

   $$-x\ge 0$$

   $$x\le 0$$

   Ответ: $$x\in(-\infty;0]$$

5. $$\sqrt[6]{-x^2}$$

   Требуется:

   $$-x^2\ge 0$$

   $$x^2\le 0$$

   Это возможно только при

   $$x=0$$

   Ответ: $$x\in\{0\}$$

6. $$\sqrt[10]{x^2+2x-8}$$

   Требуется:

   $$x^2+2x-8\ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$$

   Тогда:

   $$(x+4)(x-2)\ge 0$$

   Отсюда:

   $$x\le -4 \text{ или } x\ge 2$$

   Ответ: $$x\in(-\infty;-4]\cup[2;+\infty)$$