Упр.7.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=x^{-3}$$ на промежутке:
- $$\left[\frac{1}{3};\,2\right]$$;
- $$[-2;\,-1]$$;
- $$(-?;\,-3]$$.
Функция $$f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$$ определена при $$x\ne 0$$ и на каждом из указанных промежутков убывает.
1) Промежуток $$\left[\frac13;2\right]$$
Так как функция убывает, наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:
$$f\!\left(\frac13\right)=\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27,$$
$$f(2)=2^{-3}=\frac{1}{8}.$$
Наибольшее значение: $$27$$.
Наименьшее значение: $$\frac18$$.
2) Промежуток $$[-2;-1]$$
На этом промежутке функция тоже убывает, значит:
$$f(-2)=(-2)^{-3}=-\frac18,$$
$$f(-1)=(-1)^{-3}=-1.$$
Наибольшее значение: $$-\frac18$$.
Наименьшее значение: $$-1$$.
3) Промежуток $$(-\infty;-3]$$
При $$x\to -\infty$$ значения функции $$f(x)=\frac{1}{x^3}$$ стремятся к $$0$$, но $$0$$ не достигается. Поэтому наибольшего значения на этом промежутке нет.
Минимум достигается в точке $$x=-3$$:
$$f(-3)=(-3)^{-3}=-\frac{1}{27}.$$
Наименьшее значение: $$-\frac{1}{27}$$.
Ответ: 1) $$\max 27,\ \min \frac18$$; 2) $$\max \left(-\frac18\right),\ \min (-1)$$; 3) наибольшего значения нет, $$\min -\frac{1}{27}$$.
