Упр.7.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) [1/2; 1]; 2) [-1; -1/2]; 3) [1; +?).

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^{-6}=\frac{1}{x^6}.$$

Так как показатель степени чётный, то при $$x\neq 0$$ функция принимает только положительные значения. На промежутках $$(-\infty;0]$$ и $$[0;+\infty)$$ она убывает при удалении от нуля.

1. На промежутке $$\left[\frac12;1\right]$$ функция убывает, значит наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:

   $$\max f(x)=f\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^{-6}=2^6=64,$$
   $$\min f(x)=f(1)=1^{-6}=1.$$

2. На промежутке $$\left[-1;-\frac12\right]$$ при движении слева направо значения функции возрастают, поэтому:

   $$\max f(x)=f\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12\right)^{-6}=2^6=64,$$
   $$\min f(x)=f(-1)=(-1)^{-6}=1.$$

3. На промежутке $$[1;+\infty)$$ функция убывает:

   $$\max f(x)=f(1)=1,$$
   $$\min f(x)\text{ не существует,}$$

   так как при $$x\to +\infty$$ имеем $$f(x)=\frac{1}{x^6}\to 0,$$ но значение $$0$$ функция не принимает.

Ответ

1) $$\max f(x)=64,$$ $$\min f(x)=1.$$

2) $$\max f(x)=64,$$ $$\min f(x)=1.$$

3) $$\max f(x)=1,$$ наименьшего значения не существует.