Упр.6.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 6.20. Сколько корней в зависимости от значения a имеет уравнение x^8=9a-a^3?

Уравнение имеет вид $$x^8=9a-a^3.$$

Левая часть $$x^8$$ неотрицательна при любых $$x$$, значит:

• если $$9a-a^3>0$$, то уравнение имеет два корня: $$x=\pm \sqrt[8]{9a-a^3}$$;
• если $$9a-a^3=0$$, то уравнение имеет один корень $$x=0$$;
• если $$9a-a^3<0$$, то корней нет.

Найдём, при каких значениях $$a$$ правая часть положительна:

$$ 9a-a^3>0 \\ a(9-a^2)>0 \\ a(3-a)(3+a)>0 $$

Рассмотрим знаки множителей. Получаем:

$$ 9a-a^3>0 \quad \text{при} \quad a\in(-\infty;-3)\cup(0;3). $$

Равенство $$9a-a^3=0$$ выполняется при

$$ a(9-a^2)=0 \\ a= -3,\; 0,\; 3. $$

Тогда:

• два корня — при $$a\in(-\infty;-3)\cup(0;3)$$;
• один корень — при $$a\in\{-3,0,3\}$$;
• корней нет — при $$a\in(-3;0)\cup(3;+\infty)$$.

Ответ

Два корня, если $$a\in(-\infty;-3)\cup(0;3)$$; один корень, если $$a\in\{-3,0,3\}$$; нет корней, если $$a\in(-3;0)\cup(3;+\infty)$$.