Упр.6.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Сколько корней в зависимости от значения $$a$$ имеет уравнение: 1) $$x^{12}=a-6$$; 2) $$x^{24}=a^2+7a-8$$?

1) Рассмотрим уравнение $$x^{12}=a-6.$$

Левая часть неотрицательна при любых $$x$$, а при $$x\neq 0$$ — положительна. Поэтому:

• если $$a-6<0$$, то корней нет;
• если $$a-6=0$$, то $$x^{12}=0$$, откуда $$x=0$$ — один корень;
• если $$a-6>0$$, то уравнение имеет два корня: $$x=\pm\sqrt[12]{a-6}.$$

Значит,

$$\begin{cases} 2 \text{ корня}, & a>6,\\ 1 \text{ корень}, & a=6,\\ 0 \text{ корней}, & a<6. \end{cases}$$

2) Рассмотрим уравнение $$x^{24}=a^2+7a-8.$$

Левая часть неотрицательна, поэтому нужно исследовать правую часть:

$$a^2+7a-8>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81,$$

$$a_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2},\quad a_1=-8,\ a_2=1.$$

Тогда

$$a^2+7a-8=(a+8)(a-1).$$

Следовательно,

• если $$a<-8$$ или $$a>1$$, то правая часть положительна и уравнение имеет два корня;
• если $$a=-8$$ или $$a=1$$, то правая часть равна нулю и уравнение имеет один корень $$x=0$$;
• если $$-8<a<1$$, то корней нет.

Итак,

$$\begin{cases} 2 \text{ корня}, & a\in(-\infty;-8)\cup(1;+\infty),\\ 1 \text{ корень}, & a\in\{-8;1\},\\ 0 \text{ корней}, & a\in(-8;1). \end{cases}$$