Упр.6.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) x^12=a-6; 2) x^24=a^2+7a-8?

1) Рассмотрим уравнение $$x^{12}=a-6.$$

Левая часть неотрицательна при любых $$x$$, поэтому:

• если $$a-6<0$$, то корней нет;
• если $$a-6=0$$, то $$x=0$$ — один корень;
• если $$a-6>0$$, то уравнение $$x^{12}=a-6$$ имеет два корня: $$x=\pm \sqrt[12]{a-6}$$.

Значит,

два корня, если $$a>6$$;
один корень, если $$a=6$$;
нет корней, если $$a<6$$.

2) Рассмотрим уравнение $$x^{24}=a^2+7a-8.$$

Левая часть неотрицательна, поэтому нужно, чтобы правая часть была неотрицательной:

$$a^2+7a-8\ge 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81,$$
$$a_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2},$$
$$a_1=-8,\quad a_2=1.$$

Тогда

$$a^2+7a-8=(a+8)(a-1).$$

Следовательно,

• если $$a<-8$$ или $$a>1$$, то правая часть положительна, и уравнение имеет два корня;
• если $$a=-8$$ или $$a=1$$, то правая часть равна нулю, и уравнение имеет один корень $$x=0$$;
• если $$-8<a<1$$, то корней нет.

Ответ

1) Два корня при $$a>6$$; один корень при $$a=6$$; нет корней при $$a<6$$.

2) Два корня при $$a\in(-\infty;-8)\cup(1;+\infty)$$; один корень при $$a\in\{-8;1\}$$; нет корней при $$a\in(-8;1)$$.