Упр.5.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) (x-4)^2(x^2-7x+10) < 0; 5) (x-3)^2(x^2+x-2) < 0;
2) (x-4)^2(x^2-7x+10)?0; 6) (x-3)^2(x^2+x-2)?0;
3) (x-4)^2(x^2-7x+10) > 0; 7) (x-3)^2(x^2+x-2) > 0;
4) (x-4)^2(x^2-7x+10)?0; 8) (x-3)^2(x^2+x-2)?0;
- $$ (x-4)^2(x^2-7x+10)<0 $$
Так как $$ (x-4)^2\ge 0 $$ при любых $$x$$, то произведение будет отрицательным только тогда, когда
$$ x^2-7x+10<0. $$
Разложим на множители:
$$ x^2-7x+10=(x-2)(x-5). $$
Тогда
$$ (x-2)(x-5)<0, $$
откуда
$$ 2<x<5. $$
- $$ (x-4)^2(x^2-7x+10)\le 0 $$
При $$ (x-4)^2\ge 0 $$ нужно, чтобы
$$ x^2-7x+10\le 0. $$
Имеем
$$ (x-2)(x-5)\le 0, $$
значит,
$$ 2\le x\le 5. $$
- $$ (x-4)^2(x^2-7x+10)>0 $$
Произведение положительно, если оба множителя положительны. Так как
$$ (x-4)^2>0 \iff x\ne 4, $$
а
$$ (x-2)(x-5)>0 \iff x<2 \text{ или } x>5, $$
то
$$ x\in(-\infty;2)\cup(5;+\infty). $$
- $$ (x-4)^2(x^2-7x+10)\ge 0 $$
Произведение неотрицательно, если
$$ x^2-7x+10\ge 0 $$
или если первый множитель равен нулю:
$$ x=4. $$
Решаем неравенство
$$ (x-2)(x-5)\ge 0, $$
получаем
$$ x\le 2 \text{ или } x\ge 5. $$
С учётом точки $$x=4$$:
$$ x\in(-\infty;2]\cup\{4\}\cup[5;+\infty). $$
- $$ (x-3)^2(x^2+x-2)<0 $$
Так как $$ (x-3)^2\ge 0 $$, то нужно
$$ x^2+x-2<0. $$
Разложим на множители:
$$ x^2+x-2=(x+2)(x-1). $$
Тогда
$$ (x+2)(x-1)<0, $$
откуда
$$ -2<x<1. $$
- $$ (x-3)^2(x^2+x-2)\le 0 $$
Нужно, чтобы
$$ x^2+x-2\le 0. $$
Имеем
$$ (x+2)(x-1)\le 0, $$
значит,
$$ -2\le x\le 1. $$
Кроме того, произведение равно нулю при $$x=3$$.
- $$ (x-3)^2(x^2+x-2)>0 $$
Тогда
$$ (x-3)^2>0 \quad \text{и} \quad x^2+x-2>0. $$
Отсюда
$$ x\ne 3, $$
$$ (x+2)(x-1)>0 \iff x<-2 \text{ или } x>1. $$Итак,
$$ x\in(-\infty;-2)\cup(1;3)\cup(3;+\infty). $$
- $$ (x-3)^2(x^2+x-2)\ge 0 $$
Нужно, чтобы
$$ x^2+x-2\ge 0. $$
Тогда
$$ (x+2)(x-1)\ge 0 \iff x\le -2 \text{ или } x\ge 1. $$
Также произведение равно нулю при $$x=3$$.
Следовательно,
$$ x\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty). $$
Ответ
1) $$x\in(2;5)$$; 2) $$x\in[2;5]$$; 3) $$x\in(-\infty;2)\cup(5;+\infty)$$; 4) $$x\in(-\infty;2]\cup\{4\}\cup[5;+\infty)$$; 5) $$x\in(-2;1)$$; 6) $$x\in[-2;1]\cup\{3\}$$; 7) $$x\in(-\infty;-2)\cup(1;3)\cup(3;+\infty)$$; 8) $$x\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty)$$.
