Упр.5.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- $$(x-4)^2(x^2-7x+10)<0$$
- $$(x-4)^2(x^2-7x+10)?0$$
- $$(x-4)^2(x^2-7x+10)>0$$
- $$(x-4)^2(x^2-7x+10)?0$$
- $$(x-3)^2(x^2+x-2)<0$$
- $$(x-3)^2(x^2+x-2)?0$$
- $$(x-3)^2(x^2+x-2)>0$$
- $$(x-3)^2(x^2+x-2)?0$$
1) $$(x-4)^2(x^2-7x+10)<0$$
Так как $$(x-4)^2\ge 0$$, то произведение будет отрицательным только при
$$x^2-7x+10<0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-7x+10=(x-2)(x-5).$$
Тогда
$$(x-2)(x-5)<0,$$
откуда
$$2<x<5.$$
Но при $$x=4$$ исходное выражение равно нулю, поэтому эту точку нужно исключить.
Ответ: $$x\in(2;4)\cup(4;5).$$
2) $$(x-4)^2(x^2-7x+10)\le 0$$
Нужно, чтобы
$$x^2-7x+10\le 0,$$
то есть
$$(x-2)(x-5)\le 0.$$
Получаем
$$2\le x\le 5.$$
При $$x=4$$ произведение тоже равно нулю, и эта точка входит в решение.
Ответ: $$x\in[2;5].$$
3) $$(x-4)^2(x^2-7x+10)>0$$
Так как $$(x-4)^2\ge 0$$, то нужно
$$x^2-7x+10>0.$$
Имеем
$$(x-2)(x-5)>0,$$
откуда
$$x<2 \text{ или } x>5.$$
Точка $$x=4$$ не подходит, так как там выражение равно нулю.
Ответ: $$x\in(-\infty;2)\cup(5;+\infty).$$
4) $$(x-4)^2(x^2-7x+10)\ge 0$$
Нужно, чтобы
$$x^2-7x+10\ge 0,$$
то есть
$$(x-2)(x-5)\ge 0.$$
Следовательно,
$$x\le 2 \text{ или } x\ge 5.$$
Кроме того, при $$x=4$$ произведение равно нулю, значит, эта точка тоже входит в решение.
Ответ: $$x\in(-\infty;2]\cup\{4\}\cup[5;+\infty).$$
5) $$(x-3)^2(x^2+x-2)<0$$
Так как $$(x-3)^2\ge 0$$, то нужно
$$x^2+x-2<0.$$
Разложим на множители:
$$x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$
Тогда
$$(x+2)(x-1)<0,$$
откуда
$$-2<x<1.$$
Ответ: $$x\in(-2;1).$$
6) $$(x-3)^2(x^2+x-2)\le 0$$
Нужно, чтобы
$$x^2+x-2\le 0,$$
то есть
$$(x+2)(x-1)\le 0.$$
Получаем
$$-2\le x\le 1.$$
Также при $$x=3$$ произведение равно нулю, значит, эта точка входит в решение.
Ответ: $$x\in[-2;1]\cup\{3\}.$$
7) $$(x-3)^2(x^2+x-2)>0$$
Нужно, чтобы
$$x^2+x-2>0.$$
Имеем
$$(x+2)(x-1)>0,$$
откуда
$$x<-2 \text{ или } x>1.$$
Точка $$x=3$$ не подходит, так как там выражение равно нулю.
Ответ: $$x\in(-\infty;-2)\cup(1;3)\cup(3;+\infty).$$
8) $$(x-3)^2(x^2+x-2)\ge 0$$
Нужно, чтобы
$$x^2+x-2\ge 0.$$
Тогда
$$(x+2)(x-1)\ge 0,$$
и значит
$$x\le -2 \text{ или } x\ge 1.$$
Кроме того, при $$x=3$$ произведение равно нулю, поэтому эта точка тоже входит в ответ.
Ответ: $$x\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty).$$
