Упр.5.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x^4+1)(5-6x)(x-2) < 0; 2) (x+3)(x+6)(x+5)(x^2-4x+5)?0.

1) $$\left(x^4+1\right)(5-6x)(x-2)<0$$

Так как $$x^4+1>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, то знак произведения определяется только множителем $$\left(5-6x\right)(x-2)$$:

$$\left(5-6x\right)(x-2)<0.$$

Преобразуем:

$$-6\left(x-\frac56\right)(x-2)<0,$$

откуда

$$\left(x-\frac56\right)(x-2)>0.$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<\frac56 \quad \text{или} \quad x>2.$$

2) $$\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+5\right)\left(x^2-4x+5\right)\ge 0$$

Рассмотрим квадратный множитель:

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$$

при любом $$x\in \mathbb{R}$$. Значит, знак произведения определяется выражением

$$\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+5\right)\ge 0.$$

Нули: $$x=-6,\,-5,\,-3.$$

Исследуем знак на промежутках:

• $$(-\infty,-6)$$ — знак отрицательный;
• $$[-6,-5]$$ — знак неотрицательный;
• $$(-5,-3)$$ — знак отрицательный;
• $$[-3,+\infty)$$ — знак неотрицательный.

Следовательно,

$$x\in[-6,-5]\cup[-3,+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\infty;\frac56\right)\cup(2;+\infty).$$

2) $$x\in[-6;-5]\cup[-3;+\infty).$$