Упр.5.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\left(x^4+1\right)(5-6x)(x-2)<0$$;
2. $$\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+5\right)\left(x^2-4x+5\right)?0$$.

1) $$\left(x^4+1\right)(5-6x)(x-2)<0$$

Так как $$x^4+1>0$$ при любом $$x\in\mathbb{R},$$ то знак произведения определяется только множителями $$5-6x$$ и $$x-2.$$

Перепишем неравенство:

$$\left(5-6x\right)(x-2)<0$$

$$-6\left(x-\frac56\right)(x-2)<0$$

Делим на $$-6$$, меняя знак неравенства:

$$\left(x-\frac56\right)(x-2)>0$$

Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

$$x<\frac56 \quad \text{или} \quad x>2.$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;\frac56\right)\cup(2;+\infty).$$

2) $$\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+5\right)\left(x^2-4x+5\right)\ge 0$$

Рассмотрим квадратный множитель:

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$$

при любом $$x\in\mathbb{R}.$$ Значит, знак произведения определяется только выражением

$$\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+5\right)\ge 0.$$

Нули множителей: $$x=-6,\,-5,\,-3.$$

Исследуем знаки на промежутках:

• при $$x<-6$$ произведение отрицательно;
• при $$-6\le x\le -5$$ произведение неотрицательно;
• при $$-5<x<-3$$ произведение отрицательно;
• при $$x\ge -3$$ произведение неотрицательно.

Следовательно,

$$x\in[-6;-5]\cup[-3;+\infty).$$

Ответ: $$x\in[-6;-5]\cup[-3;+\infty).$$