Упр.5.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1) $$(2x+1)(x-3)(x^2+4)<0$$;

3) $$(3x^2-5x-2)(2x^2+x+1)<0$$;

2) $$(2-x)(3x+5)(x^2-x+1)>0$$;

4) $$(4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1)<0$$.

1) $$\left(2x+1\right)\left(x-3\right)\left(x^2+4\right)<0$$

Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R},$$ то достаточно решить неравенство

$$\left(2x+1\right)\left(x-3\right)<0.$$

Нули множителей: $$x=-\frac12,\quad x=3.$$

Произведение отрицательно между корнями:

$$x\in\left(-\frac12;3\right).$$

2) $$\left(2-x\right)\left(3x+5\right)\left(x^2-x+1\right)>0$$

Так как $$x^2-x+1>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R},$$ то решаем неравенство

$$\left(2-x\right)\left(3x+5\right)>0.$$

Преобразуем:

$$-\left(x-2\right)\cdot 3\left(x+\frac53\right)>0,$$

или

$$\left(x-2\right)\left(x+\frac53\right)<0.$$

Нули: $$x=-\frac53,\quad x=2.$$

Тогда

$$x\in\left(-\frac53;2\right).$$

3) $$\left(3x^2-5x-2\right)\left(2x^2+x+1\right)<0$$

Рассмотрим второй множитель:

$$2x^2+x+1>0,$$

так как

$$D=1-8=-7<0,\qquad a=2>0.$$

Значит, нужно решить

$$3x^2-5x-2<0.$$

Найдём корни:

$$D=25+24=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6},$$

откуда

$$x_1=-\frac13,\quad x_2=2.$$

Парабола направлена вверх, поэтому

$$x\in\left(-\frac13;2\right).$$

4) $$\left(4-x\right)\left(3x+1\right)\left(x^4+x^2+1\right)<0$$

Так как

$$x^4+x^2+1>0$$

при любом $$x\in \mathbb{R},$$ то решаем неравенство

$$\left(4-x\right)\left(3x+1\right)<0.$$

Преобразуем:

$$-\left(x-4\right)\cdot 3\left(x+\frac13\right)<0,$$

или

$$\left(x-4\right)\left(x+\frac13\right)>0.$$

Произведение положительно вне корней:

$$x\in\left(-\infty;-\frac13\right)\cup(4;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\frac12;3\right);$$ 2) $$x\in\left(-\frac53;2\right);$$ 3) $$x\in\left(-\frac13;2\right);$$ 4) $$x\in\left(-\infty;-\frac13\right)\cup(4;+\infty).$$