Упр.5.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (2x+1)(x-3)(x^2+4) < 0; 3) (3x^2-5x-2)(2x^2+x+1) < 0; 2) (2-x)(3x+5)(x^2-x+1) > 0; 4) (4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1) < 0.

1. $$ (2x+1)(x-3)(x^2+4)<0 $$

   Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, то достаточно решить неравенство

   $$ (2x+1)(x-3)<0. $$

   Нули множителей: $$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12,$$ $$x-3=0 \Rightarrow x=3.$$

   Произведение отрицательно между корнями:

   $$ x\in\left(-\frac12;3\right). $$

2. $$ (2-x)(3x+5)(x^2-x+1)>0 $$

   Заметим, что $$x^2-x+1>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, так как

   $$ D= (-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0. $$

   Тогда решаем неравенство

   $$ (2-x)(3x+5)>0. $$

   Преобразуем:

   $$ -(x-2)\cdot 3\left(x+\frac53\right)>0 $$

   $$ (x-2)\left(x+\frac53\right)<0. $$

   Корни: $$x=-\frac53$$ и $$x=2$$. Произведение отрицательно между корнями:

   $$ x\in\left(-\frac53;2\right). $$

3. $$ (3x^2-5x-2)(2x^2+x+1)<0 $$

   Исследуем второй множитель:

   $$ 2x^2+x+1>0, $$

   так как

   $$ D=1-8=-7<0,\quad a=2>0. $$

   Значит, достаточно решить

   $$ 3x^2-5x-2<0. $$

   Найдём корни уравнения:

   $$ 3x^2-5x-2=0, $$

   $$ D=25+24=49, $$

   $$ x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}. $$

   Получаем:

   $$ x_1=-\frac13,\quad x_2=2. $$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$ x\in\left(-\frac13;2\right). $$

4. $$ (4-x)(3x+1)(x^4+x^2+1)<0 $$

   Заметим, что

   $$ x^4+x^2+1>0 $$

   при любом $$x\in \mathbb{R}$$, так как

   $$ x^4+x^2+1=(x^2)^2+x^2+1. $$

   Тогда решаем неравенство

   $$ (4-x)(3x+1)<0. $$

   Преобразуем:

   $$ -(x-4)\cdot 3\left(x+\frac13\right)<0 $$

   $$ (x-4)\left(x+\frac13\right)>0. $$

   Произведение положительно вне корней $$x=-\frac13$$ и $$x=4$$:

   $$ x\in\left(-\infty;-\frac13\right)\cup(4;+\infty). $$

Ответ

1) $$x\in\left(-\frac12;3\right)$$; 2) $$x\in\left(-\frac53;2\right)$$; 3) $$x\in\left(-\frac13;2\right)$$; 4) $$x\in\left(-\infty;-\frac13\right)\cup(4;+\infty)$$.