Упр.5.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите множество решений неравенства:
   1) $$(x^2-64)(x^2-10x+9)?0$$;
   3) $$\frac{x^2-x-12}{x^2-36}?0$$;
   2) $$(x^2+7x)(x^2-7x+6)<0$$;
   4) $$\frac{3x^2+2x-1}{4x^2-x-3}?0$$.

1) $$\left(x^2-64\right)\left(x^2-10x+9\right)\ge 0$$

Разложим на множители:

$$x^2-64=(x-8)(x+8), \qquad x^2-10x+9=(x-1)(x-9).$$

Тогда

$$\left(x-8\right)\left(x+8\right)\left(x-1\right)\left(x-9\right)\ge 0.$$

Нули выражения: $$x=-8,\;1,\;8,\;9.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-\infty;-8]\cup[1;8]\cup[9;+\infty).$$

2) $$\left(x^2+7x\right)\left(x^2-7x+6\right)<0$$

Разложим на множители:

$$x^2+7x=x(x+7), \qquad x^2-7x+6=(x-1)(x-6).$$

Тогда

$$x(x+7)(x-1)(x-6)<0.$$

Нули выражения: $$x=-7,\;0,\;1,\;6.$$

Знак произведения отрицателен на промежутках

$$x\in(-7;0)\cup(1;6).$$

3) $$\frac{x^2-x-12}{x^2-36}\le 0$$

Разложим на множители:

$$x^2-x-12=(x-4)(x+3), \qquad x^2-36=(x-6)(x+6).$$

Получаем

$$\frac{(x-4)(x+3)}{(x-6)(x+6)}\le 0.$$

Область допустимых значений: $$x\ne -6,\; x\ne 6.$$

По знакам на промежутках:

$$x\in(-6;-3]\cup[4;6).$$

4) $$\frac{3x^2+2x-1}{4x^2-x-3}\ge 0$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1),$$

$$4x^2-x-3=(4x-3)(x+1).$$

Тогда

$$\frac{(3x-1)(x+1)}{(4x-3)(x+1)}\ge 0.$$

Сокращать на $$x+1$$ нельзя, поэтому учитываем, что $$x\ne -1$$.

Критические точки: $$x=-1,\; \frac14,\; \frac34.$$

По знакам получаем:

$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac14;\frac34\right)\cup\left(\frac34;+\infty\right).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-8]\cup[1;8]\cup[9;+\infty)$$

2) $$(-7;0)\cup(1;6)$$

3) $$(-6;-3]\cup[4;6)$$

4) $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac14;\frac34\right)\cup\left(\frac34;+\infty\right)$$