Упр.5.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (x^2-64)(x^2-10x+9)?0; 3) (x^2-x-12)/(x^2-36)?0;
2) (x^2+7x)(x^2-7x+6) < 0; 4) (3x^2+2x-1)/(4x^2-x-3)?0.

Подробный ответ

$$\left(x^2-64\right)\left(x^2-10x+9\right)\ge 0$$
Разложим на множители:
$$x^2-64=(x-8)(x+8), \qquad x^2-10x+9=(x-1)(x-9).$$
Тогда
$$\left(x-8\right)\left(x+8\right)\left(x-1\right)\left(x-9\right)\ge 0.$$
Нули выражения: $$x=-8,\;1,\;8,\;9.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(-\infty;-8]\cup[1;8]\cup[9;+\infty).$$
$$\left(x^2+7x\right)\left(x^2-7x+6\right)<0$$
Разложим на множители:
$$x^2+7x=x(x+7), \qquad x^2-7x+6=(x-1)(x-6).$$
Тогда
$$x(x+7)(x-1)(x-6)<0.$$
Нули выражения: $$x=-7,\;0,\;1,\;6.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(-7;0)\cup(1;6).$$
$$\frac{x^2-x-12}{x^2-36}\le 0$$
Разложим на множители:
$$x^2-x-12=(x-4)(x+3), \qquad x^2-36=(x-6)(x+6).$$
ОДЗ: $$x\ne -6,\; x\ne 6.$$
Получаем неравенство
$$\frac{(x-4)(x+3)}{(x-6)(x+6)}\le 0.$$
Критические точки: $$x=-6,\,-3,\,4,\,6.$$
По знакам на промежутках:
$$x\in(-6;-3]\cup[4;6).$$
$$\frac{3x^2+2x-1}{4x^2-x-3}\ge 0$$
Разложим на множители:
$$3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1),$$
$$4x^2-x-3=(4x-3)(x+1).$$
ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne \frac34.$$
Тогда
$$\frac{(3x-1)(x+1)}{(4x-3)(x+1)}\ge 0.$$
Сокращать на $$x+1$$ нельзя, так как $$x=-1$$ не входит в ОДЗ. Рассмотрим знаки множителей. Критические точки: $$x=-1,\;\frac13,\;\frac34.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;\frac34\right)\cup(+\infty).$$