Упр.5.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$(x+2)(x^2-1)>0$$;
   4) $$\frac{x^2-4}{x^2-9}>0$$;
   2) $$(x^2-4x+3)(x^2+3x+2)?0$$;
   5) $$\frac{x^2-3x}{x^2-8x+7}?0$$;
   3) $$4x^3-25x<0$$;
   6) $$\frac{2x^2-5x+2}{x^2-3x-4}?0$$.

1) $$\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)>0$$

Разложим на множители:

$$\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)>0$$

Корни: $$x=-2,\,-1,\,1.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-2;\,-1)\cup(1;\,+\infty).$$

2) $$\left(x^2-4x+3\right)\left(x^2+3x+2\right)\ge 0$$

Разложим на множители:

$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)\ge 0$$

Корни: $$x=-2,\,-1,\,1,\,3.$$

Тогда

$$x\in(-\infty;\,-2]\cup[-1;\,1]\cup[3;\,+\infty).$$

3) $$4x^3-25x<0$$

Вынесем общий множитель и разложим:

$$x\left(4x^2-25\right)<0$$

$$x\left(2x-5\right)\left(2x+5\right)<0$$

Корни: $$x=-\frac52,\,0,\,\frac52.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;\,-2{,}5)\cup(0;\,2{,}5).$$

4) $$\frac{x^2-4}{x^2-9}>0$$

Разложим на множители:

$$\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}>0$$

Критические точки: $$x=-3,\,-2,\,2,\,3.$$

С учётом знаков дроби получаем:

$$x\in(-\infty;\,-3)\cup(-2;\,2)\cup(3;\,+\infty).$$

5) $$\frac{x^2-3x}{x^2-8x+7}\le 0$$

Разложим на множители:

$$\frac{x\left(x-3\right)}{\left(x-1\right)\left(x-7\right)}\le 0$$

Критические точки: $$x=0,\,1,\,3,\,7.$$

Учитывая, что при $$x=1$$ и $$x=7$$ знаменатель обращается в нуль, получаем:

$$x\in[0;\,1)\cup[3;\,7).$$

6) $$\frac{2x^2-5x+2}{x^2-3x-4}\ge 0$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$\frac{\left(2x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}\ge 0$$

Критические точки: $$x=-1,\,\frac12,\,2,\,4.$$

С учётом области определения и знаков дроби:

$$x\in(-\infty;\,-1)\cup\left[\frac12;\,2\right]\cup(4;\,+\infty).$$

Ответ

1) $$(-2;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$$

2) $$(-\infty;\,-2]\cup[-1;\,1]\cup[3;\,+\infty)$$

3) $$(-\infty;\,-2{,}5)\cup(0;\,2{,}5)$$

4) $$(-\infty;\,-3)\cup(-2;\,2)\cup(3;\,+\infty)$$

5) $$[0;\,1)\cup[3;\,7)$$

6) $$(-\infty;\,-1)\cup\left[\frac12;\,2\right]\cup(4;\,+\infty)$$