Упр.5.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите множество решений неравенства:

1. $$\frac{x+3}{x-1}>0$$;
2. $$\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0$$;
3. $$\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0$$;
4. $$\frac{x-4}{x}?0$$;
5. $$\frac{(x+1{,}2)(x-1{,}6)}{x-1{,}4}?0$$;
6. $$\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)}?0$$.

1) $$\frac{x+3}{x-1}>0.$$

Нули числителя и знаменателя: $$x=-3,\quad x=1.$$

Исследуем знаки на промежутках:

$$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$

2) $$\frac{x-4}{x}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=0,\quad x=4.$$

С учётом знаков дроби получаем:

$$x\in(-\infty;0)\cup[4;+\infty).$$

3) $$\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0.$$

Критические точки: $$x=-1,\quad x=2,\quad x=4.$$

Знак выражения отрицателен на промежутках:

$$x\in(-\infty;-1)\cup(2;4).$$

4) $$\frac{(x+1{,}2)(x-1{,}6)}{x-1{,}4}\le 0.$$

Критические точки: $$x=-1{,}2,\quad x=1{,}4,\quad x=1{,}6.$$

Тогда

$$x\in(-\infty;-1{,}2]\cup(1{,}4;1{,}6].$$

5) $$\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0.$$

Преобразуем:

$$\frac{(x-\frac23)(x-4)}{(x+3)(x-1)}<0.$$

Критические точки: $$x=-3,\quad x=\frac23,\quad x=1,\quad x=4.$$

Получаем:

$$x\in\left(-3;\frac23\right)\cup(1;4).$$

6) $$\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)}\ge 0.$$

Преобразуем:

$$\frac{(x+1)(x-3)}{\left(x-\frac23\right)\left(x-\frac43\right)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-1,\quad x=\frac23,\quad x=\frac43,\quad x=3.$$

Тогда

$$x\in(-\infty;-1]\cup\left(\frac23;\frac43\right)\cup[3;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$

2) $$(-\infty;0)\cup[4;+\infty)$$

3) $$(-\infty;-1)\cup(2;4)$$

4) $$(-\infty;-1{,}2]\cup(1{,}4;1{,}6]$$

5) $$\left(-3;\frac23\right)\cup(1;4)$$

6) $$(-\infty;-1]\cup\left(\frac23;\frac43\right)\cup[3;+\infty)$$