Упр.5.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x+3)/(x-1) > 0; 3) ((x-2)(x+1))/(x-4) < 0; 5) ((3x-2)(4-x))/((x+3)(x-1)) > 0;
2) (x-4)/x?0; 4) ((x+1,2)(x-1,6))/(x-1,4)?0; 6) ((x+1)(3-x))/((3x-2)(4-3x))?0.

1. $$\frac{x+3}{x-1}>0$$

   Нули числителя и знаменателя: $$x=-3$$ и $$x=1$$. Рассмотрим знаки дроби на промежутках:

   $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$

2. $$\frac{x-4}{x}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=0$$ и $$x=4$$. Знак неотрицателен на промежутках

   $$x\in(-\infty;0)\cup[4;+\infty).$$

3. $$\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}<0$$

   Критические точки: $$x=-1,\;2,\;4$$. По знакам на промежутках получаем

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(2;4).$$

4. $$\frac{(x+1{,}2)(x-1{,}6)}{x-1{,}4}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-1{,}2,\;1{,}4,\;1{,}6$$. Тогда

   $$x\in(-\infty;-1{,}2]\cup(1{,}4;1{,}6].$$

5. $$\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)}>0$$

   Преобразуем:

   $$\frac{-(x-\frac{2}{3})(x-4)}{(x+3)(x-1)}>0$$

   или

   $$\frac{(x-\frac{2}{3})(x-4)}{(x+3)(x-1)}<0.$$

   Критические точки: $$x=-3,\;\frac{2}{3},\;1,\;4$$. По знакам дроби

   $$x\in(-3;\frac{2}{3})\cup(1;4).$$

6. $$\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)}\ge 0$$

   Преобразуем:

   $$\frac{-(x+1)(x-3)}{-3\left(x-\frac{2}{3}\right)\cdot 3\left(x-\frac{4}{3}\right)}\ge 0$$

   то есть

   $$\frac{(x+1)(x-3)}{\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{4}{3}\right)}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=-1,\;\frac{2}{3},\;\frac{4}{3},\;3$$. Тогда

   $$x\in(-\infty;-1]\cup\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)\cup[3;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$;
2) $$(-\infty;0)\cup[4;+\infty)$$;
3) $$(-\infty;-1)\cup(2;4)$$;
4) $$(-\infty;-1{,}2]\cup(1{,}4;1{,}6]$$;
5) $$(-3;\frac{2}{3})\cup(1;4)$$;
6) $$(-\infty;-1]\cup\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)\cup[3;+\infty)$$.