Упр.5.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите множество решений неравенства:
1) $$(x-8)(x+7)<0$$;
3) $$(x+5{,}2)(x-1{,}4)\mathrel{?}0$$;
5) $$\frac{(x+15)(x-2)}{x-15}\mathrel{?}0$$;
2) $$(x+9)(x-11)>0$$;
4) $$\frac{5-x}{x-6}\mathrel{?}0$$;
6) $$\frac{x-3{,}8}{(x+5)(x-16)}\mathrel{?}0$$.
1) $$\frac{x-8}{x+7}<0$$
Нули числителя и знаменателя: $$x=8$$ и $$x=-7.$$
Знак дроби отрицателен между этими точками, поэтому
$$x\in(-7;8).$$
2) $$\frac{x+9}{x-11}>0$$
Критические точки: $$x=-9$$ и $$x=11.$$
Дробь положительна вне промежутка между ними, значит
$$x\in(-\infty;-9)\cup(11;+\infty).$$
3) $$\frac{x+5{,}2}{x-1{,}4}\le 0$$
Критические точки: $$x=-5{,}2$$ и $$x=1{,}4.$$
Нужны отрицательные значения дроби и ноль числителя, поэтому
$$x\in[-5{,}2;1{,}4).$$
4) $$\frac{5-x}{x-6}\ge 0$$
Преобразуем числитель:
$$\frac{-(x-5)}{x-6}\ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{x-5}{x-6}\le 0.$$
Критические точки: $$x=5$$ и $$x=6.$$
Получаем
$$x\in[5;6).$$
5) $$\frac{(x+15)(x-2)}{x-15}\ge 0$$
Критические точки: $$x=-15,\;2,\;15.$$
По знакам на промежутках получаем
$$x\in[-15;2]\cup(15;+\infty).$$
6) $$\frac{x-3{,}8}{(x+5)(x-16)}\le 0$$
Критические точки: $$x=-5,\;3{,}8,\;16.$$
С учётом знаков дроби и того, что $$x=-5$$ и $$x=16$$ не входят в область определения, имеем
$$x\in(-\infty;-5)\cup[3{,}8;16).$$
Ответ
1) $$(-7;8)$$; 2) $$(-\infty;-9)\cup(11;+\infty)$$; 3) $$[-5{,}2;1{,}4)$$; 4) $$[5;6)$$; 5) $$[-15;2]\cup(15;+\infty)$$; 6) $$(-\infty;-5)\cup[3{,}8;16)$$.
