Упр.5.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим случаи в зависимости от взаимного расположения корней и учтём, что при совпадении корней степень соответствующего множителя меняется.

1. $$(x-3)(x-a)<0$$

   Если $$a=3$$, то

   $$(x-3)^2<0,$$

   что невозможно, значит решений нет.

   Если $$a<3$$, то произведение отрицательно между корнями:

   $$x\in(a;3).$$

   Если $$a>3$$, то

   $$x\in(3;a).$$

2. $$(x-3)(x-a)^2>0$$

   Если $$a=3$$, то

   $$(x-3)^3>0,$$

   откуда

   $$x>3.$$

   Если $$a\neq 3$$, то $$(x-a)^2>0$$ при $$x\neq a$$, а знак выражения определяется множителем $$x-3$$. Поэтому

   $$x>3,\quad x\neq a.$$

   Значит,

   $$x\in(3;+\infty),\ \text{если } a\le 3;$$
   $$x\in(3;a)\cup(a;+\infty),\ \text{если } a>3.$$

3. $$(x-3)(x-a)^2\ge 0$$

   Если $$a=3$$, то

   $$(x-3)^3\ge 0,$$

   откуда

   $$x\ge 3.$$

   Если $$a\neq 3$$, то

   $$x-3\ge 0,\quad x\neq a.$$

   Следовательно,

   $$x\in[a;+\infty),\ \text{если } a<3;$$
   $$x\in[3;+\infty),\ \text{если } a\ge 3.$$

4. $$(x-a)(x+5)^2<0$$

   Если $$a=-5$$, то

   $$(x+5)^3<0,$$

   значит

   $$x<-5.$$

   Если $$a\neq -5$$, то $$(x+5)^2>0$$ при $$x\neq -5$$, и знак выражения определяется множителем $$x-a$$. Тогда

   $$x<a,\quad x\neq -5.$$

   Итак,

   $$x\in(-\infty;a),\ \text{если } a\le -5;$$
   $$x\in(-\infty;-5)\cup(-5;a),\ \text{если } a>-5.$$

5. $$(x-a)(x+5)^2\le 0$$

   Если $$a=-5$$, то

   $$(x+5)^3\le 0,$$

   откуда

   $$x\le -5.$$

   Если $$a\neq -5$$, то

   $$x-a\le 0,\quad x\neq -5.$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;a]\cup\{-5\},\ \text{если } a<-5;$$
   $$x\in(-\infty;a],\ \text{если } a\ge -5.$$

6. $$\frac{x-5}{x-a}\ge 0$$

   Область определения: $$x\neq a$$.

   Если $$a=5$$, то

   $$\frac{x-5}{x-5}\ge 0,\qquad x\neq 5,$$

   то есть

   $$1\ge 0,$$

   и решение:

   $$x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$

   Если $$a<5$$, то

   $$x\in(-\infty;a)\cup[5;+\infty).$$

   Если $$a>5$$, то

   $$x\in(-\infty;5]\cup(a;+\infty).$$

7. $$\frac{(x+1)(x-a)}{x+1}\ge 0$$

   Область определения: $$x\neq -1$$.

   При $$x\neq -1$$ получаем

   $$x-a\ge 0,$$

   то есть

   $$x\ge a,\quad x\neq -1.$$

   Значит,

   $$x\in[a;-1)\cup(-1;+\infty),\ \text{если } a<-1;$$
   $$x\in(-1;+\infty),\ \text{если } a=-1;$$
   $$x\in[a;+\infty),\ \text{если } a>-1.$$

8. $$\frac{(x+1)(x-a)}{x-a}\le 0$$

   Область определения: $$x\neq a$$.

   При $$x\neq a$$ имеем

   $$x+1\le 0,$$

   то есть

   $$x\le -1,\quad x\neq a.$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;a)\cup(a;-1],\ \text{если } a<-1;$$
   $$x\in(-\infty;-1),\ \text{если } a=-1;$$
   $$x\in(-\infty;-1],\ \text{если } a>-1.$$