Упр.5.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x-3)(x-a) < 0; 5) (x-a)(x+5)^2?0; 2) (x-3)(x-a)^2 > 0; 6) (x-5)/(x-a)?0;
3) (x-3)(x-a)^2?0; 7) ((x+1)(x-a))/(x+1)?0;
4) (x-a)(x+5)^2 < 0; 8) ((x+1)(x-a))/(x-a)?0.

1. $$ (x-3)(x-a)<0 $$

   Если $$a=3$$, то

   $$ (x-3)^2<0 $$

   Решений нет.

   Если $$a<3$$, то произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями:

   $$ x\in(a;3). $$

   Если $$a>3$$, то

   $$ x\in(3;a). $$

2. $$ (x-3)(x-a)^2>0 $$

   Так как $$ (x-a)^2\ge 0 $$ и равно нулю только при $$x=a$$, то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

   $$ x-3>0,\quad x\ne a. $$

   Значит,

   $$ x\in(3;+\infty),\quad x\ne a. $$

   Отсюда:

   $$ x\in(3;+\infty),\ \text{если } a\le 3; $$

   $$ x\in(3;a)\cup(a;+\infty),\ \text{если } a>3. $$

3. $$ (x-3)(x-a)^2\ge 0 $$

   Так как $$ (x-a)^2\ge 0 $$, то нужно, чтобы

   $$ x-3\ge 0,\quad x\ne a \text{ при } x= a \text{ даёт } 0. $$

   Если $$a<3$$, то

   $$ x\in\{a\}\cup[3;+\infty). $$

   Если $$a\ge 3$$, то

   $$ x\in[3;+\infty). $$

4. $$ (x-a)(x+5)^2<0 $$

   Если $$a=-5$$, то

   $$ (x+5)^3<0,\quad x<-5. $$

   Если $$a>-5$$, то

   $$ (x-a)(x+5)^2<0 $$

   Так как $$ (x+5)^2\ge 0 $$, то нужно

   $$ x-a<0,\quad x\ne -5. $$

   Следовательно,

   $$ x\in(-\infty;-5)\cup(-5;a). $$

   Итак,

   $$ x\in(-\infty;a),\ \text{если } a\le -5; $$

   $$ x\in(-\infty;-5)\cup(-5;a),\ \text{если } a>-5. $$

5. $$ (x-a)(x+5)^2\le 0 $$

   Если $$a=-5$$, то

   $$ (x+5)^3\le 0,\quad x\le -5. $$

   Если $$a<-5$$, то

   $$ x\in(-\infty;a]\cup\{-5\}. $$

   Если $$a\ge -5$$, то

   $$ x\in(-\infty;a]. $$

6. $$ \frac{x-5}{x-a}\ge 0 $$

   Область определения: $$x\ne a$$.

   Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака или числитель равен нулю:

   $$ x=5 \text{ или } \frac{x-5}{x-a}>0. $$

   Получаем:

   $$ x\in(-\infty;a)\cup[5;+\infty),\ \text{если } a<5; $$

   $$ x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty),\ \text{если } a=5; $$

   $$ x\in(-\infty;5]\cup(a;+\infty),\ \text{если } a>5. $$

7. $$ \frac{(x+1)(x-a)}{x+1}\ge 0 $$

   Область определения: $$x\ne -1$$.

   При $$x\ne -1$$ сокращаем на $$x+1$$:

   $$ x-a\ge 0,\quad x\ge a. $$

   С учётом ОДЗ:

   $$ x\in[a;-1)\cup(-1;+\infty),\ \text{если } a<-1; $$

   $$ x\in(-1;+\infty),\ \text{если } a=-1; $$

   $$ x\in[a;+\infty),\ \text{если } a>-1. $$

8. $$ \frac{(x+1)(x-a)}{x-a}\le 0 $$

   Область определения: $$x\ne a$$.

   При $$x\ne a$$ сокращаем на $$x-a$$:

   $$ x+1\le 0,\quad x\le -1. $$

   С учётом ОДЗ:

   $$ x\in(-\infty;-1]\setminus\{a\},\ \text{если } a<-1; $$

   $$ x\in(-\infty;-1),\ \text{если } a=-1; $$

   $$ x\in(-\infty;-1],\ \text{если } a>-1. $$

Ответ

1) $$x\in(a;3),\ \text{если } a<3;\quad x\in\varnothing,\ \text{если } a=3;\quad x\in(3;a),\ \text{если } a>3.$$
2) $$x\in(3;+\infty),\ \text{если } a\le 3;\quad x\in(3;a)\cup(a;+\infty),\ \text{если } a>3.$$
3) $$x\in\{a\}\cup[3;+\infty),\ \text{если } a<3;\quad x\in[3;+\infty),\ \text{если } a\ge 3.$$
4) $$x\in(-\infty;a),\ \text{если } a\le -5;\quad x\in(-\infty;-5)\cup(-5;a),\ \text{если } a>-5.$$
5) $$x\in(-\infty;a]\cup\{-5\},\ \text{если } a<-5;\quad x\in(-\infty;a],\ \text{если } a\ge -5.$$
6) $$x\in(-\infty;a)\cup[5;+\infty),\ \text{если } a<5;\quad x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty),\ \text{если } a=5;\quad x\in(-\infty;5]\cup(a;+\infty),\ \text{если } a>5.$$
7) $$x\in[a;-1)\cup(-1;+\infty),\ \text{если } a<-1;\quad x\in(-1;+\infty),\ \text{если } a=-1;\quad x\in[a;+\infty),\ \text{если } a>-1.$$
8) $$x\in(-\infty;-1]\setminus\{a\},\ \text{если } a<-1;\quad x\in(-\infty;-1),\ \text{если } a=-1;\quad x\in(-\infty;-1],\ \text{если } a>-1.$$