Упр.5.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 5.24. Решите неравенство |(x-1)/(x^2-16)|?(x-1)/(x^2-16).

Рассмотрим неравенство

$$\left|\frac{x-1}{x^2-16}\right|\le \frac{x-1}{x^2-16}.$$

По определению модуля для любого числа $$a$$ верно $$|a|\ge a$$. Значит, данное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

$$\frac{x-1}{x^2-16}\ge 0,$$

при этом обязательно $$x^2-16\ne 0$$, то есть $$x\ne -4$$ и $$x\ne 4$$.

Решим неравенство:

$$\frac{x-1}{x^2-16}\ge 0,$$

$$\frac{x-1}{(x-4)(x+4)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-4,\;1,\;4.$$

Исследуем знаки на промежутках:

• при $$x\in(-\infty,-4)$$ дробь отрицательна;
• при $$x\in(-4,1)$$ дробь положительна;
• при $$x=1$$ дробь равна нулю;
• при $$x\in(1,4)$$ дробь отрицательна;
• при $$x\in(4,+\infty)$$ дробь положительна.

Следовательно, решение неравенства:

$$x\in(-4,1]\cup(4,+\infty).$$

Ответ

$$(-4,1]\cup(4,+\infty)$$