Упр.5.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство $$\left|\frac{x-1}{x^2-16}\right|?\frac{x-1}{x^2-16}$$.

Рассмотрим неравенство $$\left|\frac{x-1}{x^2-16}\right|\le \frac{x-1}{x^2-16}.$$

Область определения: $$x^2-16\ne 0,\quad x\ne -4,\; x\ne 4.$$

Для любого числа $$|a|\ge a,$$ причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда $$a\ge 0.$$

Значит, данное неравенство верно тогда и только тогда, когда

$$\frac{x-1}{x^2-16}\ge 0.$$

Решим это неравенство:

$$\frac{x-1}{(x-4)(x+4)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-4,\;1,\;4.$$

Исследуем знаки на промежутках:

• при $$x\in(-\infty,-4)$$ дробь отрицательна;
• при $$x\in[-4,1]$$ дробь неотрицательна;
• при $$x\in(1,4)$$ дробь отрицательна;
• при $$x\in(4,+\infty)$$ дробь положительна.

С учётом области определения получаем:

$$x\in(-4,1]\cup(4,+\infty).$$

Ответ

$$x\in(-4,1]\cup(4,+\infty).$$