Упр.5.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 5.23. Решите неравенство |x/(x^2-9)|?x/(x^2-9).

Рассмотрим неравенство $$\left|\frac{x}{x^2-9}\right|\le \frac{x}{x^2-9}.$$

По свойству модуля для любого допустимого значения $$x$$ левая часть неотрицательна, поэтому неравенство выполняется тогда и только тогда, когда правая часть тоже неотрицательна:

$$\frac{x}{x^2-9}\ge 0,$$

причём $$x\ne \pm 3.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$\frac{x}{(x-3)(x+3)}\ge 0.$$

Найдём знаки дроби на промежутках, разделённых точками $$-3,\ 0,\ 3.$$

Дробь неотрицательна на промежутках $$(-3;0]$$ и $$ (3;+\infty).$$

Ответ

$$x\in(-3;0]\cup(3;+\infty).$$