Упр.5.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство $$\left|\frac{x}{x^2-9}\right|?\frac{x}{x^2-9}$$.

По определению модуля

$$\left|\frac{x}{x^2-9}\right|\ge 0.$$

Чтобы неравенство

$$\left|\frac{x}{x^2-9}\right|\le \frac{x}{x^2-9}$$

было верным, правая часть должна быть неотрицательной:

$$\frac{x}{x^2-9}\ge 0.$$

Решим это неравенство:

$$\frac{x}{(x-3)(x+3)}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-3,\;0,\;3.$$

Исследуем знаки на промежутках:

• $$(-\infty,-3)$$ — знак отрицательный;
• $$[-3,0]$$ — знак неотрицательный;
• $$(0,3)$$ — знак отрицательный;
• $$[3,+\infty)$$ — знак неотрицательный.

Точки $$x=-3$$ и $$x=3$$ не входят в область определения, так как обращают знаменатель в нуль.

Следовательно,

$$x\in(-3,0]\cup(3,+\infty).$$

Ответ: $$(-3,0]\cup(3,+\infty).$$