Упр.5.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) (x-3)v(14+5x-x^2) > 0; 5) (x^2-25)v(16-x^2) < 0;
2) (x-3)v(14+5x-x^2)?0; 6) (x^2-25)v(16-x^2) > 0;
3) (x-3)v(14+5x-x^2) < 0; 7) (x^2-25)v(16-x^2)?0;
4) (x-3)v(14+5x-x^2)?0; 8) (x^2-25)v(16-x^2)?0.
$$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}>0$$
Область определения:
$$14+5x-x^2\ge 0$$
$$x^2-5x-14\le 0$$
$$D=25+56=81,\quad x_{1,2}=\frac{5\pm 9}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=7$$
$$x\in[-2;7]$$
Так как корень неотрицателен, для выполнения неравенства нужно:
$$x-3>0$$
$$x>3$$
Пересекаем с ОДЗ:
$$x\in(3;7)$$
$$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0$$
ОДЗ: $$x\in[-2;7]$$.
Чтобы произведение было неотрицательным, достаточно:
$$x-3\ge 0$$
$$x\ge 3$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in\{-2\}\cup[3;7]$$
$$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}<0$$
ОДЗ: $$x\in[-2;7]$$.
Для отрицательного произведения нужно:
$$x-3<0$$
$$x<3$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(-2;3)$$
$$\left(x-3\right)\sqrt{14+5x-x^2}\le 0$$
ОДЗ: $$x\in[-2;7]$$.
Тогда:
$$x-3\le 0$$
$$x\le 3$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in[-2;3]\cup\{7\}$$
$$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}<0$$
ОДЗ:
$$16-x^2\ge 0$$
$$x^2-16\le 0$$
$$\left(x+4\right)\left(x-4\right)\le 0$$
$$x\in[-4;4]$$
Для отрицательного произведения нужно:
$$x^2-25<0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-5\right)<0$$
$$-5<x<5$$
Пересечение с ОДЗ:
$$x\in(-4;4)$$
$$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}>0$$
ОДЗ: $$x\in[-4;4]$$.
Чтобы произведение было положительным, нужно:
$$x^2-25>0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-5\right)>0$$
$$x<-5 \text{ или } x>5$$
Таких значений нет в ОДЗ, значит решений нет.
$$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}\le 0$$
ОДЗ: $$x\in[-4;4]$$.
Так как $$\sqrt{16-x^2}\ge 0$$, достаточно, чтобы
$$x^2-25\le 0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-5\right)\le 0$$
$$-5\le x\le 5$$
Пересечение с ОДЗ:
$$x\in[-4;4]$$
$$\left(x^2-25\right)\sqrt{16-x^2}\ge 0$$
ОДЗ: $$x\in[-4;4]$$.
Для неотрицательного произведения нужно:
$$x^2-25\ge 0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-5\right)\ge 0$$
$$x\le -5 \text{ или } x\ge 5$$
Таких значений нет в ОДЗ, но при $$\sqrt{16-x^2}=0$$, то есть при $$x=\pm 4$$, произведение равно нулю.
Ответ: $$x\in\{-4;4\}$$
Ответ
1) $$x\in(3;7)$$; 2) $$x\in\{-2\}\cup[3;7]$$; 3) $$x\in(-2;3)$$; 4) $$x\in[-2;3]\cup\{7\}$$; 5) $$x\in(-4;4)$$; 6) $$\varnothing$$; 7) $$x\in[-4;4]$$; 8) $$x\in\{-4;4\}$$.
