Упр.5.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) (x^2-4)v(x^2-1) < 0; 5) (x^2-5x+4)v(x^2-7x+10) < 0;
2) (x^2-4)v(x^2-1) > 0; 6) (x^2-5x+4)v(x^2-7x+10) > 0;
3) (x^2-4)v(x^2-1)?0; 7) (x^2-5x+4)v(x^2-7x+10)?0;
4) (x^2-4)v(x^2-1)?0; 8) (x^2-5x+4)v(x^2-7x+10)?0.
$$\left(x^2-4\right)\sqrt{x^2-1}<0$$
Область определения:
$$x^2-1\ge 0$$
$$\left(x+1\right)\left(x-1\right)\ge 0$$
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$
Так как $$\sqrt{x^2-1}\ge 0$$, то произведение отрицательно, когда
$$x^2-4<0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-2\right)<0$$
$$-2<x<2$$
Пересекаем с ОДЗ:
$$x\in(-2;-1)\cup(1;2)$$
$$\left(x^2-4\right)\sqrt{x^2-1}>0$$
Область определения:
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$
Так как $$\sqrt{x^2-1}\ge 0$$, то для положительности произведения нужно
$$x^2-4>0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-2\right)>0$$
$$x<-2 \text{ или } x>2$$
Ответ с учётом ОДЗ:
$$x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$
$$\left(x^2-4\right)\sqrt{x^2-1}\le 0$$
Область определения:
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$
Так как $$\sqrt{x^2-1}\ge 0$$, то произведение не положительно, когда
$$x^2-4\le 0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-2\right)\le 0$$
$$-2\le x\le 2$$
Пересечение с ОДЗ:
$$x\in[-2;-1]\cup[1;2]$$
$$\left(x^2-4\right)\sqrt{x^2-1}\ge 0$$
Область определения:
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$
Так как $$\sqrt{x^2-1}\ge 0$$, то нужно
$$x^2-4\ge 0$$
$$\left(x+2\right)\left(x-2\right)\ge 0$$
$$x\le -2 \text{ или } x\ge 2$$
С учётом ОДЗ получаем:
$$x\in(-\infty;-2]\cup[-1;1]\cup[2;+\infty)$$
$$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}<0$$
Область определения:
$$x^2-7x+10\ge 0$$
$$\left(x-2\right)\left(x-5\right)\ge 0$$
$$x\le 2 \text{ или } x\ge 5$$
Так как $$\sqrt{x^2-7x+10}\ge 0$$, то нужно
$$x^2-5x+4<0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-4\right)<0$$
$$1<x<4$$
Пересечение с ОДЗ:
$$x\in(1;2)$$
$$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}>0$$
Область определения:
$$x\le 2 \text{ или } x\ge 5$$
Для положительности произведения нужно
$$x^2-5x+4>0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-4\right)>0$$
$$x<1 \text{ или } x>4$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$$
$$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}\le 0$$
Область определения:
$$x\le 2 \text{ или } x\ge 5$$
Так как $$\sqrt{x^2-7x+10}\ge 0$$, то нужно
$$x^2-5x+4\le 0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-4\right)\le 0$$
$$1\le x\le 4$$
Пересечение с ОДЗ:
$$x\in[1;2]$$
$$\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x^2-7x+10}\ge 0$$
Область определения:
$$x\le 2 \text{ или } x\ge 5$$
Для неотрицательности произведения нужно
$$x^2-5x+4\ge 0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-4\right)\ge 0$$
$$x\le 1 \text{ или } x\ge 4$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in(-\infty;1]\cup\{2\}\cup[5;+\infty)$$
Ответ
1) $$x\in(-2;-1)\cup(1;2)$$; 2) $$x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$$; 3) $$x\in[-2;-1]\cup[1;2]$$; 4) $$x\in(-\infty;-2]\cup[-1;1]\cup[2;+\infty)$$; 5) $$x\in(1;2)$$; 6) $$x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$$; 7) $$x\in[1;2]$$; 8) $$x\in(-\infty;1]\cup\{2\}\cup[5;+\infty)$$.
