Упр.5.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$\frac{2(x-3)}{x(x-6)}<\frac{1}{x-1}$$;
   2) $$\frac{2x+3}{x^2+x-12}<\frac{1}{2}$$.

1) $$\frac{2(x-3)}{x(x-6)}<\frac1{x-1}$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{2x-6}{x(x-6)}-\frac1{x-1}<0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(2x-6)(x-1)-x(x-6)}{x(x-1)(x-6)}<0$$

$$\frac{2x^2-2x-6x+6-x^2+6x}{x(x-1)(x-6)}<0$$

$$\frac{x^2-2x+6}{x(x-1)(x-6)}<0$$

Числитель всегда положителен, так как

$$x^2-2x+6=(x-1)^2+5>0$$

Значит, нужно решить неравенство

$$x(x-1)(x-6)<0$$

С учётом точек разрыва $$x=0,1,6$$ получаем:

$$x\in(-\infty;0)\cup(1;6).$$

2) $$\frac{2x+3}{x^2+x-12}<\frac12$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac12-\frac{2x+3}{x^2+x-12}>0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x^2+x-12-2(2x+3)}{2(x^2+x-12)}>0$$

$$\frac{x^2-3x-18}{x^2+x-12}>0$$

Разложим на множители:

$$\frac{(x-6)(x+3)}{(x-3)(x+4)}>0$$

Критические точки: $$x=-4,\,-3,\,3,\,6$$.

Исследуя знаки дроби, получаем:

$$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;3)\cup(6;+\infty).$$

Ответ: 1) $$x\in(-\infty;0)\cup(1;6)$$; 2) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;3)\cup(6;+\infty)$$.