Упр.5.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (2(x-3))/(x(x-6)) < 1/(x-1); 2) (2x+3)/(x^2+x-12) < 1/2.

1. $$\frac{2(x-3)}{x(x-6)}<\frac{1}{x-1}$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac{2x-6}{x(x-6)}-\frac{1}{x-1}<0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(2x-6)(x-1)-x(x-6)}{x(x-1)(x-6)}<0$$

   $$\frac{2x^2-8x+6-x^2+6x}{x(x-1)(x-6)}<0$$

   $$\frac{x^2-2x+6}{x(x-1)(x-6)}<0$$

   Числитель:

   $$x^2-2x+6>0$$

   так как $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 6=4-24=-20<0$$, а старший коэффициент положителен.

   Значит, знак дроби определяется знаменателем:

   $$x(x-1)(x-6)<0$$

   Решаем методом интервалов. Корни: $$0,\ 1,\ 6$$.

   Получаем:

   $$x\in(-\infty;0)\cup(1;6).$$

2. $$\frac{2x+3}{x^2+x-12}<\frac12$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\frac12-\frac{2x+3}{x^2+x-12}>0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x^2+x-12-2(2x+3)}{2(x^2+x-12)}>0$$

   $$\frac{x^2-3x-18}{x^2+x-12}>0$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{(x-6)(x+3)}{(x+4)(x-3)}>0$$

   Критические точки: $$-4,\ -3,\ 3,\ 6$$.

   По методу интервалов получаем:

   $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;3)\cup(6;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;0)\cup(1;6)$$

2) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;3)\cup(6;+\infty)$$