Упр.5.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$(x+3)(x-1)(x+4)<0;$$
2. $$(1-3x)(x+2)(3-x)<0;$$
3. $$(x-7)(x+8)(x-12)?0;$$
4. $$x(5-x)(6-x)?0.$$

1) $$(x+3)(x-1)(x+4)<0$$

Нули произведения: $$x=-4,\,-3,\,1.$$

Рассмотрим знаки на промежутках:

$$(-\infty;-4)\;-\,,\quad (-4;-3)\;+\,,\quad (-3;1)\;-\,,\quad (1;+\infty)\;+.$$

Требуется отрицательное значение произведения, значит

$$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;1).$$

2) $$(x-7)(x+8)(x-12)\ge 0$$

Нули произведения: $$x=-8,\,7,\,12.$$

Знаки на промежутках:

$$(-\infty;-8)\;-\,,\quad (-8;7)\;+\,,\quad (7;12)\;-\,,\quad (12;+\infty)\;+.$$

Тогда

$$x\in[-8;7]\cup[12;+\infty).$$

3) $$(1-3x)(x+2)(3-x)<0$$

Преобразуем:

$$1-3x=-3\left(x-\frac13\right),\qquad 3-x=-(x-3).$$

Тогда

$$-3\left(x-\frac13\right)(x+2)\cdot\bigl(-(x-3)\bigr)<0,$$

$$(x+2)\left(x-\frac13\right)(x-3)<0.$$

Нули: $$x=-2,\;\frac13,\;3.$$

Знаки на промежутках:

$$(-\infty;-2)\;-\,,\quad (-2;\frac13)\;+\,,\quad \left(\frac13;3\right)\;-\,,\quad (3;+\infty)\;+.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac13;3\right).$$

4) $$x(5-x)(6-x)\le 0$$

Преобразуем:

$$5-x=-(x-5),\qquad 6-x=-(x-6).$$

Тогда

$$x\cdot\bigl(-(x-5)\bigr)\cdot\bigl(-(x-6)\bigr)\le 0,$$

$$x(x-5)(x-6)\le 0.$$

Нули: $$x=0,\,5,\,6.$$

Знаки на промежутках:

$$(-\infty;0)\;-\,,\quad (0;5)\;+\,,\quad (5;6)\;-\,,\quad (6;+\infty)\;+.$$

Так как нужно $$\le 0,$$ получаем

$$x\in(-\infty;0]\cup[5;6].$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;1)$$; 2) $$x\in[-8;7]\cup[12;+\infty)$$; 3) $$x\in(-\infty;-2)\cup\left(\frac13;3\right)$$; 4) $$x\in(-\infty;0]\cup[5;6]$$.