Упр.5.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 1/(x-1)+1/(x+1)?3/x; 2) 12/(x^2-4)-7/(x^2-9)?0.

1. $$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\ge \frac{3}{x}$$

   Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3}{x}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\le 0$$

   $$\frac{3(x-1)(x+1)-x(x+1)-x(x-1)}{x(x-1)(x+1)}\le 0$$

   $$\frac{3x^2-3-x^2-x-x^2+x}{x(x-1)(x+1)}\le 0$$

   $$\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+1)}\le 0$$

   $$\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x(x-1)(x+1)}\le 0$$

   Критические точки: $$-\sqrt{3},\,-1,\,0,\,1,\,\sqrt{3}$$. Учитывая знаки на промежутках и то, что точки разрыва $$x=-1,0,1$$ не входят в ответ, получаем:

   $$x\in(-\infty;-\sqrt{3}] \cup (-1;0) \cup (1;\sqrt{3}]$$

2. $$\frac{12}{x^2-4}-\frac{7}{x^2-9}\le 0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{12(x^2-9)-7(x^2-4)}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0$$

   $$\frac{12x^2-108-7x^2+28}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0$$

   $$\frac{5x^2-80}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0$$

   $$\frac{5(x^2-16)}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0$$

   $$\frac{5(x-4)(x+4)}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}\le 0$$

   Критические точки: $$-4,\,-3,\,-2,\,2,\,3,\,4$$. С учётом области определения $$x\ne \pm 2,\ \pm 3$$ получаем:

   $$x\in[-4;-3)\cup(-2;2)\cup(3;4]$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-\sqrt{3}] \cup (-1;0) \cup (1;\sqrt{3}]$$;

2) $$x\in[-4;-3)\cup(-2;2)\cup(3;4]$$.