Упр.5.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенства: 1) $$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\mathrel{?}\frac{3}{x}$$; 2) $$\frac{12}{x^2-4}-\frac{7}{x^2-9}\mathrel{?}0$$.

1) Рассмотрим неравенство

$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\ge \frac{3}{x}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{3}{x}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\le 0,$$

$$\frac{3(x-1)(x+1)-x(x+1)-x(x-1)}{x(x-1)(x+1)}\le 0.$$

Упростим числитель:

$$3(x^2-1)-x^2-x-x^2+x=x^2-3.$$

Тогда

$$\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+1)}\le 0,$$

$$\frac{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x(x-1)(x+1)}\le 0.$$

Критические точки: $$-\sqrt{3},\,-1,\,0,\,1,\,\sqrt{3}.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in(-\infty;-\sqrt{3}] \cup (-1;0) \cup (1;\sqrt{3}].$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\frac{12}{x^2-4}-\frac{7}{x^2-9}\le 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{12(x^2-9)-7(x^2-4)}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0,$$

$$\frac{12x^2-108-7x^2+28}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0,$$

$$\frac{5x^2-80}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0,$$

$$\frac{5(x^2-16)}{(x^2-4)(x^2-9)}\le 0,$$

$$\frac{5(x-4)(x+4)}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}\le 0.$$

Область допустимых значений: $$x\ne \pm 2,\ \pm 3.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in[-4;-3)\cup(-2;2)\cup(3;4].$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-\sqrt{3}] \cup (-1;0) \cup (1;\sqrt{3}]$$

2) $$x\in[-4;-3)\cup(-2;2)\cup(3;4]$$