Упр.5.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. 1) $$\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3}?0$$;
   3) $$\frac{x^2(x^2-1)}{x-4}>0$$;
   2) $$\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5}?0$$;
   4) $$\frac{(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4}{x^5}?0$$.

1) $$\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3}\le 0.$$

Так как $$(x-2)^2\ge 0$$ и при $$x\ne 2$$ не влияет на знак, а степень в знаменателе нечётная, получаем равносильное неравенство

$$\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3}\le 0 \;\Longleftrightarrow\; (x-1)(x-2)^2(x-3)\le 0.$$

Нули выражения: $$x=1,\; x=2,\; x=3.$$

По знакам множителей получаем:

$$x\in[1;3).$$

Ответ: $$x\in[1;3).$$

2) $$\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5}\ge 0.$$

Поскольку $$(x-1)^2\ge 0$$, а степень у $$x+2$$ нечётная, имеем

$$\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5}\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{(x+2)(x-1)^2}{x-5}\ge 0.$$

Умножим на $$x-5$$ с учётом знака:

$$(x+2)(x-1)^2(x-5)\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-2,\; x=1,\; x=5.$$

Тогда

$$x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(5;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(5;+\infty).$$

3) $$\frac{x^2(x^2-1)}{x-4}>0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{x^2(x-1)(x+1)}{x-4}>0.$$

Умножим на $$x-4$$:

$$x^2(x-1)(x+1)(x-4)>0.$$

Так как $$x^2\ge 0$$ и при $$x=0$$ выражение равно нулю, знак определяется множителями $$(x-1)(x+1)(x-4)$$.

Получаем:

$$x\in(-1;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-1;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty).$$

4) $$\frac{(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4}{x^5}\le 0.$$

Так как $$(x-1)^2\ge 0$$ и $$(x-3)^4\ge 0$$, а степень у $$x$$ в знаменателе нечётная, получаем

$$\frac{(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4}{x^5}\le 0 \;\Longleftrightarrow\; x(x-1)^2(x-2)(x-3)^2\le 0.$$

Критические точки: $$x=0,\; x=1,\; x=2,\; x=3.$$

Знак выражения не положителен при

$$x\in(0;2]\cup\{3\}.$$

Ответ: $$x\in(0;2]\cup\{3\}.$$