Упр.5.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) ((x-1)(x-2)^2)/(x-3)^3?0; 3) (x^2(x^2-1))/(x-4) > 0;
2) ((x-1)^2(x+2)^3)/(x-5)?0; 4) ((x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4)/x^5?0.

1. $$\frac{(x-1)(x-2)^2}{(x-3)^3}\le 0$$

   Так как степень знаменателя нечётная, знак дроби определяется знаком множителя $$x-3$$:

   $$\frac{(x-1)(x-2)^2}{x-3}\le 0$$

   Поскольку $$ (x-2)^2 \ge 0 $$ и обращается в нуль при $$x=2$$, получаем

   $$(x-1)(x-2)^2(x-3)\le 0$$

   Отсюда
   $$x\in[1;3).$$

2. $$\frac{(x-1)^2(x+2)^3}{x-5}\ge 0$$

   Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$, а степень $$3$$ нечётная, имеем

   $$\frac{(x-1)^2(x+2)}{x-5}\ge 0$$

   Умножим на $$x-5$$ с учётом знака:

   $$(x+2)(x-1)^2(x-5)\ge 0$$

   Тогда
   $$x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(5;+\infty).$$

3. $$\frac{x^2(x^2-1)}{x-4}>0$$

   Разложим на множители:

   $$\frac{x^2(x-1)(x+1)}{x-4}>0$$

   Перенесём знаменатель в числитель:

   $$x^2(x-1)(x+1)(x-4)>0$$

   Так как $$x^2\ge 0$$ и при $$x=0$$ выражение равно нулю, получаем

   $$x\in(-1;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty).$$

4. $$\frac{(x-1)^2(x-2)^3(x-3)^4}{x^5}\le 0$$

   Учитывая чётные степени, получаем

   $$\frac{(x-1)^2(x-2)(x-3)^2}{x}\le 0$$

   Тогда
   $$x(x-1)^2(x-2)(x-3)^2\le 0$$

   Отсюда
   $$x\in(0;2]\cup\{3\}.$$

Ответ

1) $$x\in[1;3)$$;
2) $$x\in(-\infty;-2]\cup\{1\}\cup(5;+\infty)$$;
3) $$x\in(-1;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty)$$;
4) $$x\in(0;2]\cup\{3\}$$.