Упр.5.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите множество решений неравенства:
   1) $$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}>0$$;
   2) $$\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5}>0$$;
   3) $$\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2}?0$$;
   4) $$\frac{x^5|3x-1|(x+3)}{x-2}?0$$;
   5) $$\frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2}?0$$;
   6) $$\frac{(x+6)^3(x+4)(6-x)^5}{|x+5|}?0$$.

1) $$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}>0.$$

Так как $$(x-1)^4>0$$ при $$x\ne 1,$$ а $$1-4x=-4\left(x-\frac14\right),$$ получаем

$$\frac{x^3(x+5)}{(x-8)\left(x-\frac14\right)}<0.$$

Критические точки: $$-5,\ 0,\ \frac14,\ 1,\ 8.$$

Знак выражения меняется в точках с нечётной кратностью, поэтому

$$x\in(-5;0)\cup\left(\frac14;1\right)\cup(1;8).$$

2) $$\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5}>0.$$

Поскольку $$(3-x)^4=(x-3)^4>0$$ при $$x\ne 3,$$ а $$1-5x=-5\left(x-\frac15\right),$$ имеем

$$\frac{(x-2)(2x+1)}{x-\frac15}<0.$$

Критические точки: $$-\frac12,\ \frac15,\ 2,\ 3.$$

С учётом знаков получаем

$$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right).$$

3) $$\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2}\ge 0.$$

Так как $$(x+4)^2>0$$ при $$x\ne -4,$$ достаточно решить

$$\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{x-1}\ge 0.$$

Критические точки: $$-4,\ -3,\ -\frac25,\ 1,\ 3.$$

Тогда

$$x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-3]\cup\left[-\frac25;1\right)\cup[3;+\infty).$$

4) $$\frac{x^5|3x-1|(x+3)}{x-2}\le 0.$$

Так как $$|3x-1|\ge 0,$$ а при $$x=\frac13$$ числитель равен нулю, получаем

$$\frac{x^5(x+3)}{x-2}\le 0,\qquad x\ne \frac13.$$

Критические точки: $$-3,\ 0,\ \frac13,\ 2.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-3]\cup[0;2).$$

5) $$\frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2}\le 0.$$

Преобразуем:

$$\frac{(x-2)(4x+3)}{(x-3)(x+1)^2}\ge 0.$$

Так как $$4x+3=4\left(x+\frac34\right),$$ имеем

$$\frac{(x-2)\left(x+\frac34\right)}{x-3}\ge 0,\qquad x\ne -1.$$

Критические точки: $$-1,\ -\frac34,\ 2,\ 3.$$

Ответ:

$$x\in\left[-\frac34;2\right]\cup(3;+\infty).$$

6) $$\frac{(x+6)^3(x+4)(6-x)^5}{|x+5|}\ge 0.$$

Так как $$|x+5|>0$$ при $$x\ne -5,$$ а $$6-x=-(x-6),$$ то

$$-\frac{(x+6)^3(x+4)(x-6)^5}{|x+5|}\ge 0,$$

или

$$\frac{(x+6)(x+4)(x-6)}{|x+5|}\le 0.$$

Поскольку знаменатель положителен, достаточно решить

$$(x+6)(x+4)(x-6)\le 0,\qquad x\ne -5.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-6]\cup[-4;6].$$

Ответ

1) $$(-5;0)\cup\left(\frac14;1\right)\cup(1;8)$$

2) $$\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right)$$

3) $$(-\infty;-4)\cup(-4;-3]\cup\left[-\frac25;1\right)\cup[3;+\infty)$$

4) $$(-\infty;-3]\cup[0;2)$$

5) $$\left[-\frac34;2\right]\cup(3;+\infty)$$

6) $$(-\infty;-6]\cup[-4;6]$$