Упр.5.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x^3(x-1)^4(x+5))/((x-8)(1-4x)) > 0; 4) (x^5|3x-1|(x+3))/(x-2)?0;
2) ((x-2)(2x+1)^3)/((3-x)^4(1-5x)^5) > 0; 5) ((2-x)(4x+3))/((x-3)^3(x+1)^2)?0;
3) ((x-3)(5x+2)(x+3))/((x-1)(x+4)^2)?0; 6) ((x+6)^3(x+4)(6-x)^5)/|x+5|?0.

1. $$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}>0$$

   Так как $$1-4x=-4\left(x-\frac14\right),$$ получаем

   $$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)}=\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{-4(x-8)\left(x-\frac14\right)}.$$

   Постоянный множитель $$-4$$ на знак неравенства не влияет, а множитель $$ (x-1)^4 $$ всегда неотрицателен и при $$x\neq 1$$ не меняет знак. Поэтому решаем

   $$\frac{x(x+5)}{\left(x-\frac14\right)(x-8)}<0.$$

   Критические точки: $$x=-5,\;0,\;\frac14,\;8.$$ По знакам на промежутках получаем

   $$x\in(-5;0)\cup\left(\frac14;1\right)\cup(1;8).$$

2. $$\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5}>0$$

   Так как $$ (3-x)^4=(x-3)^4 $$ — чётная степень, знак не меняет, а
   $$1-5x=-5\left(x-\frac15\right),$$
   то неравенство равносильно

   $$\frac{(x-2)(2x+1)}{(x-3)^4\left(x-\frac15\right)}<0.$$

   Учитывая, что $$ (x-3)^4>0 $$ при $$x\neq 3,$$ получаем

   $$\frac{(x-2)(2x+1)}{x-\frac15}<0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac12,\;\frac15,\;2.$$ Тогда

   $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right).$$

3. $$\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2}\ge 0$$

   Так как $$5x+2=5\left(x+\frac25\right),$$ а $$ (x+4)^2>0 $$ при $$x\neq -4,$$ имеем

   $$\frac{(x-3)\left(x+\frac25\right)(x+3)}{x-1}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=-4,\;-3,\;-\frac25,\;1,\;3.$$ По знакам:

   $$x\in(-\infty;-4)\cup[-4;-3]\cup\left[-\frac25;1\right)\cup[3;+\infty).$$

4. $$\frac{x^5|3x-1|(x+3)}{x-2}\le 0$$

   Так как $$|3x-1|=3\left|x-\frac13\right|,$$ а множитель $$3>0,$$ то

   $$\frac{x^5\left|x-\frac13\right|(x+3)}{x-2}\le 0.$$

   Поскольку $$x^5$$ имеет тот же знак, что и $$x,$$ получаем

   $$\frac{x\left|x-\frac13\right|(x+3)}{x-2}\le 0.$$

   Решение по знакам даёт

   $$x\in(-\infty;-3]\cup[0;2).$$

5. $$\frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2}\le 0$$

   Преобразуем:

   $$2-x=-(x-2),\qquad 4x+3=4\left(x+\frac34\right).$$

   Тогда

   $$-\frac{(x-2)\left(x+\frac34\right)}{(x-3)^3(x+1)^2}\le 0,$$

   или
   $$\frac{(x-2)\left(x+\frac34\right)}{(x-3)^3(x+1)^2}\ge 0.$$

   Так как $$ (x+1)^2>0 $$ при $$x\neq -1,$$ получаем

   $$\frac{(x-2)\left(x+\frac34\right)}{x-3}\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\in\left[-\frac34;2\right]\cup(3;+\infty).$$

6. $$\frac{(x+6)^3(x+4)(6-x)^5}{|x+5|}\ge 0$$

   Так как $$6-x=-(x-6),$$ а $$|x+5|>0$$ при $$x\neq -5,$$ то знак выражения определяется множителями
   $$ (x+6)(x+4)(x-6). $$

   Получаем

   $$\frac{(x+6)(x+4)(x-6)}{|x+5|}\le 0.$$

   Так как знаменатель положителен при всех допустимых $$x,$$ имеем

   $$(x+6)(x+4)(x-6)\le 0.$$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;-6]\cup[-4;6].$$

Ответ

1) $$x\in(-5;0)\cup\left(\frac14;1\right)\cup(1;8)$$;
2) $$x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup\left(\frac15;2\right)$$;
3) $$x\in(-\infty;-4)\cup[-4;-3]\cup\left[-\frac25;1\right)\cup[3;+\infty)$$;
4) $$x\in(-\infty;-3]\cup[0;2)$$;
5) $$x\in\left[-\frac34;2\right]\cup(3;+\infty)$$;
6) $$x\in(-\infty;-6]\cup[-4;6]$$.