Упр.5.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (3-x)^3(x+2)^2(x-1)(2x-5) < 0; 2) (x^2-4)(x^2+x-2)?0; 3) (x^3-4x)(x^2+2x-8)(x^2+7x+10)?0.

Подробный ответ

1) $$ (3-x)^3(x+2)^2(x-1)(2x-5) < 0 $$

Преобразуем множитель:

$$ (3-x)^3 = -(x-3)^3, \qquad 2x-5 = 2\left(x-\frac52\right). $$

Тогда

$$ -(x-3)^3(x+2)^2(x-1)\left(x-\frac52\right) < 0, $$

или

$$ (x-3)^3(x+2)^2(x-1)\left(x-\frac52\right) > 0. $$

Так как степень у $$x-3$$ нечётная, а у $$x+2$$ чётная, получаем по знакам множителей:

$$ x \in (1;\tfrac52)\cup(3;+\infty). $$

2) $$ (x^2-4)(x^2+x-2)\le 0 $$

Разложим на множители:

$$ x^2-4=(x-2)(x+2), $$

$$ x^2+x-2=(x+2)(x-1). $$

Тогда

$$ (x-2)(x+2)^2(x-1)\le 0. $$

Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$, знак выражения определяется множителем $$ (x-2)(x-1) $$, а точка $$ x=-2 $$ тоже входит в ответ как нуль произведения. Получаем:

$$ x\in\{-2\}\cup[1;2]. $$

3) $$ (x^3-4x)(x^2+2x-8)(x^2+7x+10)\le 0 $$

Разложим на множители:

$$ x^3-4x=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2), $$

$$ x^2+2x-8=(x+4)(x-2), $$

$$ x^2+7x+10=(x+5)(x+2). $$

Тогда

$$ x(x-2)(x+2)(x+4)(x-2)(x+5)(x+2)\le 0, $$

$$ x(x+4)(x+5)(x+2)^2(x-2)^2\le 0. $$

Так как $$ (x+2)^2\ge 0 $$ и $$ (x-2)^2\ge 0 $$, знак произведения определяется выражением $$ x(x+4)(x+5) $$, а нули $$ x=-2 $$ и $$ x=2 $$ тоже входят в ответ. Решаем неравенство по промежуткам:

$$ x\in(-\infty;-5]\cup[-4;0]\cup\{2\}. $$