Упр.5.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (2x+3)(1-4x)^4(x-2)^3(x+6) < 0; 2) (1-3x)^3(x+2)^2(x+4)^5(x-3) > 0;
3) (x^2+2x-15)(x^2-4x+3)(x-1)?0;
4) (1-2x)(x-3)^9(2x+7)^6(x+4)(x-2)^2 > 0.

1. $$ (2x+3)(1-4x)^4(x-2)^3(x+6)<0 $$

   Нули множителей: $$x=-\frac32,\; x=\frac14,\; x=2,\; x=-6.$$

   Чётные степени не меняют знак, поэтому рассматриваем только множители с нечётной степенью:

   $$ (2x+3)(x-2)(x+6)<0. $$

   Учитывая точки $$-6,\; -\frac32,\; 2,$$ получаем:

   $$ x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac32;\frac14\right)\cup(2;+\infty). $$

2. $$ (1-3x)^3(x+2)^2(x+4)^5(x-3)>0 $$

   Так как $$ (x+2)^2\ge 0, $$ то знак неравенства определяется выражением

   $$ (1-3x)(x+4)(x-3)>0. $$

   Нули: $$x=\frac13,\; x=-4,\; x=3.$$

   Решение по промежуткам:

   $$ x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac13;3\right). $$

3. $$ (x^2+2x-15)(x^2-4x+3)(x-1)\le 0 $$

   Разложим на множители:

   $$ x^2+2x-15=(x+5)(x-3), $$

   $$ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). $$

   Тогда

   $$ (x+5)(x-3)(x-1)(x-3)(x-1)\le 0, $$

   $$ (x+5)(x-1)^2(x-3)^2\le 0. $$

   Так как $$ (x-1)^2\ge 0 $$ и $$ (x-3)^2\ge 0, $$ неравенство выполняется при

   $$ x\le -5 $$

   или при обращении выражения в нуль:

   $$ x=1,\; x=3. $$

   Итак,

   $$ x\in(-\infty;-5]\cup\{1;3\}. $$

4. $$ (1-2x)(x-3)^9(2x+7)^6(x+4)(x-2)^2>0 $$

   Чётные степени не влияют на знак, поэтому получаем

   $$ (1-2x)(x-3)(x+4)>0. $$

   Нули: $$x=\frac12,\; x=3,\; x=-4.$$

   Решение по промежуткам:

   $$ x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;2\right)\cup(2;3). $$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac32;\frac14\right)\cup(2;+\infty)$$;
2) $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac13;3\right)$$;
3) $$x\in(-\infty;-5]\cup\{1;3\}$$;
4) $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;2\right)\cup(2;3)$$.