Упр.5.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$(2x+3)(1-4x)^4(x-2)^3(x+6) < 0$$;
   2) $$(1-3x)^3(x+2)^2(x+4)^5(x-3) > 0$$;
   3) $$(x^2+2x-15)(x^2-4x+3)(x-1)?0$$;
   4) $$(1-2x)(x-3)^9(2x+7)^6(x+4)(x-2)^2 > 0$$.

1) $$\begin{aligned} (2x+3)(1-4x)^4(x-2)^3(x+6)<0 \end{aligned}$$

Так как $$\,(1-4x)^4\ge 0\,$$ и при $$x=\frac14$$ обращается в нуль, знак произведения определяется множителями с нечётными степенями:

$$(2x+3)(x-2)(x+6)<0.$$

Нули: $$x=-6,\; x=-\frac32,\; x=2.$$

По знакам множителей получаем:

$$x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac32;\frac14\right)\cup\left(\frac14;2\right).$$

Но точка $$x=\frac14$$ исключается, так как исходное выражение равно нулю. Поэтому

$$x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac32;\frac14\right)\cup\left(\frac14;2\right).$$

2) $$\begin{aligned} (1-3x)^3(x+2)^2(x+4)^5(x-3)>0 \end{aligned}$$

Поскольку $$\,(x+2)^2\ge 0\,$$, знак произведения определяется выражением

$$(1-3x)(x+4)(x-3)>0.$$

Преобразуем:

$$-(3x-1)(x+4)(x-3)>0,$$

то есть

$$(3x-1)(x+4)(x-3)<0.$$

Нули: $$x=-4,\; x=\frac13,\; x=3.$$

Тогда

$$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac13;3\right).$$

3) $$\begin{aligned} (x^2+2x-15)(x^2-4x+3)(x-1)≤0 \end{aligned}$$

Разложим на множители:

$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3),$$

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

Тогда

$$(x+5)(x-3)(x-1)(x-3)(x-1)\le 0,$$

$$(x+5)(x-1)^2(x-3)^2\le 0.$$

Так как $$\,(x-1)^2\ge 0\,$$ и $$\,(x-3)^2\ge 0\,$$, неравенство выполняется, когда

$$x+5\le 0$$

или когда произведение равно нулю при $$x=1$$ и $$x=3$$.

Итак,

$$x\in(-\infty;-5]\cup\{1;3\}.$$

4) $$\begin{aligned} (1-2x)(x-3)^9(2x+7)^6(x+4)(x-2)^2>0 \end{aligned}$$

Так как $$\,(2x+7)^6\ge 0\,$$ и $$\,(x-2)^2\ge 0\,$$, знак произведения определяется множителями с нечётными степенями:

$$(1-2x)(x-3)(x+4)>0.$$

Преобразуем:

$$-(2x-1)(x-3)(x+4)>0,$$

то есть

$$(2x-1)(x-3)(x+4)<0.$$

Нули: $$x=-4,\; x=\frac12,\; x=3.$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;2\right)\cup(2;3).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac32;\frac14\right)\cup\left(\frac14;2\right)$$

2) $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac13;3\right)$$

3) $$x\in(-\infty;-5]\cup\{1;3\}$$

4) $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;2\right)\cup(2;3)$$