Упр.5.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 1/(x+2)?1; 2) (5x+8)/(4-x) < 2; 3) 2/(x+3)?1/(x-1).

1. $$\frac{1}{x+2}\le 1$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$1-\frac{1}{x+2}\ge 0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x+2-1}{x+2}\ge 0$$

   $$\frac{x+1}{x+2}\ge 0$$

   Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=-1$$.

   Знак дроби неотрицателен на промежутках:

   $$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;+\infty).$$

2. $$\frac{5x+8}{4-x}<2$$

   Перенесём $2$ в левую часть:

   $$\frac{5x+8}{4-x}-2<0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{5x+8-2(4-x)}{4-x}<0$$

   $$\frac{7x}{4-x}<0$$

   Умножим числитель и знаменатель на $-1$:

   $$\frac{x}{x-4}>0$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Получаем:

   $$x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty).$$

3. $$\frac{2}{x+3}\ge \frac{1}{x-1}$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-1}\ge 0$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2(x-1)-(x+3)}{(x+3)(x-1)}\ge 0$$

   $$\frac{x-5}{(x+3)(x-1)}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=-3,\;1,\;5.$$

   По знакам дроби получаем:

   $$x\in(-3;1)\cup[5;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;+\infty)$$

2) $$x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$

3) $$x\in(-3;1)\cup[5;+\infty)$$