Упр.5.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   
   1) $$\frac{1}{x+2}\mathrel{?}1$$;
   
   2) $$\frac{5x+8}{4-x}<2$$;
   3) $$\frac{2}{x+3}\mathrel{?}\frac{1}{x-1}$$.

1) $$\frac{1}{x+2}\le 1$$

Перенесём $$1$$ в левую часть:

$$1-\frac{1}{x+2}\ge 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x+2-1}{x+2}\ge 0$$

$$\frac{x+1}{x+2}\ge 0$$

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=-1$$.

Тогда

$$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;+\infty).$$

2) $$\frac{5x+8}{4-x}<2$$

Перенесём $$2$$ в левую часть:

$$\frac{5x+8}{4-x}-2<0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{5x+8-2(4-x)}{4-x}<0$$

$$\frac{7x}{4-x}<0$$

Так как $$4-x=-(x-4),$$ получаем

$$\frac{x}{x-4}>0.$$

Произведение числителя и знаменателя должно быть положительным:

$$x(x-4)>0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty).$$

3) $$\frac{2}{x+3}\ge \frac{1}{x-1}$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{2}{x+3}-\frac{1}{x-1}\ge 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(x-1)-(x+3)}{(x+3)(x-1)}\ge 0$$

$$\frac{x-5}{(x+3)(x-1)}\ge 0$$

Критические точки: $$x=-3$$, $$x=1$$, $$x=5$$.

По знакам дроби получаем:

$$x\in(-3;1)\cup[5;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-2)\cup[-1;+\infty)$$

2) $$x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty)$$

3) $$x\in(-3;1)\cup[5;+\infty)$$